2020上海市卢湾区九年级（上）期中数学试卷题及解析

2020上海市卢湾区九年级（上）期中数学试卷题及解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）若两个相似三角形的相似比为1：3，则这两个三角形的面积比为（）A．1：3B．1：9C．D．1：62．（4分）若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长的线段MP的长为（）A．cmB．cmC．cmD．cm3．（4分）在Rt△ABC中，若各边长都增加一倍，则锐角A的四个锐角三角函数值（）A．都增加一倍B．都减小一倍C．都不变D．不能确定4．（4分）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（）A．20米B．30米C．40米D．50米5．（4分）已知，，是非零向量，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．=3C．=D．=，=﹣26．（4分）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A=55°，∠D=35°B．AC=9，BC=12，DF=6，EF=8C．AC=3，BC=4，DF=6，DE=8D．AB=10，AC=8，DE=15，EF=9二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）若，则=_________．8．（4分）计算：=_________．9．（4分）计算：cos30°﹣cot60°=_________．10．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=9，，则BC的长为_________．11．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，BC=3，DE：EF=2：1，则AC=_________．12．（4分）（2008•徐汇区一模）如图，DE∥BC，，那么△ADE与△ABC的周长之比是_________．13．（4分）如图，已知∠1=∠2，请添加一个条件后，能够判定△ABC∽△ADE，这个条件可以是_________．（写出一个条件即可）14．（4分）已知=2，=4，若与方向相反，则用向量表示向量为：=_________．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若AD：BC=1：3，则S△ADO：S△DCO=_________．16．（4分）如图，已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，其中AD=6，BD=4，那么CD=_________．17．（4分）已知等腰梯形的上、下两底长分别为4cm和6cm，将它的两腰分别延长交于一点，这个交点到上、下两底的距离之比为_________．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD⊥DE，DE=BE，若AC=6，BC=9时，则CD=_________．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．（10分）如图，已知点A′、B′、C′分别在射线OA、OB、OC上，AB∥A′B′，BC∥B′C′．求证：AC∥A′C′．20．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BD，sin∠ADC=，AC=4，求BC的长．21．（10分）如图，已知平行四边形ABCD，点E是AD边上的点，且AE=2ED，连接BE并延长交CD的延长线于点F，，，试用向量表示．22．（10分）如图，已知点F是正方形ABCD的边CD上的点，，AF与BD相交于点E，AF的延长线交BC的延长线于点G．求AE：EG的值．四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，∠CED=∠BDC．（1）求证：△DCE∽△CBD；（2）若BC=2CD，S△ADE=1，求S△ABC的值．24．（12分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD=∠ECA．（1）求证：AC2=BC•CD；（2）若E是△ABC的重心，求AC2：AD2的值．五、（本题满分14分）25．（14分）已知，在△ABC中，AB=4，AC=5，，点D是边AC上的点，点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y．（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长；（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域；（3）连接EC，如图2，求当x为何值时，△AEC与△BEF相似？

2010-2011学年上海市卢湾区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）若两个相似三角形的相似比为1：3，则这两个三角形的面积比为（）A．1：3B．1：9C．D．1：6考点：相似三角形的性质．菁优网版权所有分析：由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得这两个三角形的面积比．解答：解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，∴这两个三角形的面积比为1：9．故选B．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．2．（4分）若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长的线段MP的长为（）A．cmB．cmC．cmD．cm考点：黄金分割．菁优网版权所有分析：较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是（2﹣x）cm．根据黄金分割的定义即可列方程求解．解答：解：较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是（2﹣x）cm．则x2=2（2﹣x），解得x=﹣1或﹣﹣1（舍去）．故选A．点评：本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．3．（4分）在Rt△ABC中，若各边长都增加一倍，则锐角A的四个锐角三角函数值（）A．都增加一倍B．都减小一倍C．都不变D．不能确定考点：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有分析：在Rt△ABC中，若各边长都增加一倍，变化后的图形与原图形相似，根据相似三角形的性质可得对应角相等，再根据锐角三角函数的定义即可求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，各边长都增加一倍，∴变化后的图形与原图形相似，它们的对应角相等，∴锐角A的四个锐角三角函数值都不变．故选C．点评：考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是得到变化后的图形与原图形对应角相等．4．（4分）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（）A．20米B．30米C．40米D．50米考点：相似三角形的应用．菁优网版权所有分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解答：解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设建筑物的高度为xm，则可列比例为：=，解得：x=30，故选：B．点评：此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得出是解题关键．5．（4分）已知，，是非零向量，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．=3C．=D．=，=﹣2考点：*平面向量．菁优网版权所有分析：根据平行向量间的关系，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：∵，，是非零向量，A、∵∥，∥，∴∥，故本选项能判定∥；B、∵=3，∴∥；故本选项能判定∥；C、∵||=||，∴与的模相等，但不能判定∥；故本选项能判定∥；D、∵=，=﹣2，∴=﹣4，∴∥；故本选项能判定∥．故选C．点评：此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握向量是有方向的．6．（4分）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A=55°，∠D=35°B．AC=9，BC=12，DF=6，EF=8C．AC=3，BC=4，DF=6，DE=8D．AB=10，AC=8，DE=15，EF=9考点：相似三角形的判定．菁优网版权所有分析：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．解答：解：A、相似：∵∠A=55°∴∠B=90°﹣55°=35°∵∠D=35°∴∠B=∠D∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC=9，BC=12，DF=6，EF=8，∴，∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，∴，∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；故选C．点评：此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）若，则=2．考点：比例的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：设=k，由比例的性质得到x=2k，y=3k，z=4k，然后把它们代入所求的代数式中，经过化简后即可得到代数式的值．解答：解：设=k，则x=2k，y=3k，z=4k，==2．故答案为2．点评：本题考查了比例的性质：若==k，则a=bk，d=ck．8．（4分）计算：=．考点：*平面向量．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先去括号，然后直接进行向量的加减运算即可．解答：解：原式=﹣+﹣=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．点评：本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的运算是关键．9．（4分）计算：cos30°﹣cot60°=．考点：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有分析：直接把cos30°=，cot60°=，代入所求代数式进行计算即可．解答：解：cos30°﹣cot60°=﹣=．故答案为．点评：本题比较简单，解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．10．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=9，，则BC的长为3．考点：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有分析：根据三角函数定义求解即可．解答：解：∵sinA=BC：AB=BC：9=，∴BC=3，故答案为：3．点评：此题主要考查了锐角的三角函数，正弦：锐角的对边与斜边的比．11．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，BC=3，DE：EF=2：1，则AC=9．考点：平行线分线段成比例．菁优网版权所有分析：已知AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理，计算即可．解答：解：∵AD∥BE∥CF，∴AB：BC=DE：EF=2：1，∵BC=3，∴AB=6，∴AC=AB+BC=9，故答案为：9．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．12．（4分）（2008•徐汇区一模）如图，DE∥BC，，那么△ADE与△ABC的周长之比是2：3．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由条件可以求出AD：BD=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．解答：解：∵，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴．故答案为：2：3．点评：本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的周长之比等于相似比的运用．解答本题求出两三角形相似是关健．13．（4分）如图，已知∠1=∠2，请添加一个条件后，能够判定△ABC∽△ADE，这个条件可以是∠D=∠B或∠C=∠AED或=．（写出一个条件即可）考点：相似三角形的判定．菁优网版权所有专题：开放型．分析：先根据∠1=∠2求出∠BAC=∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，所以，添加的条件为∠D=∠B或∠C=∠AED或=．故答案为：∠D=∠B或∠C=∠AED或=．点评：本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC=∠DAE是确定其他条件的关键．14．（4分）已知=2，=4，若与方向相反，则用向量表示向量为：=．考点：*平面向量．菁优网版权所有分析：根据与方向相反，且=2，=4，即可用向量表示向量．解答：解：由题意得，=，与方向相反，故可得=﹣．故答案为：=﹣．点评：本题考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若AD：BC=1：3，则S△ADO：S△DCO=1：3．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由在梯形ABCD中，AD∥BC，可证得△AOD∽△COB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OA：OC，又由等高三角形面积的比等于其对应底的比，即可求得S△ADO：S△DCO的值．解答：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OA：OC=AD：BC=1：3，∴S△ADO：S△DCO=1：3．故答案为：1：3．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比，注意掌握数形结合思想的应用．16．（4分）如图，已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，其中AD=6，BD=4，那么CD=．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由条件可以证明出△ADC∽△CDB，从而就有，再将AD、BD的值代入比例式就可以求出结论．解答：解：如图，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°．∴∠2+∠A=90°，∠1+∠B=90°．∵△ABC是Rt△，∴∠1+∠2=90°，∴∠A=∠1，∠B=∠2，∴△ADC∽△CDB，∴．∵AD=6，BD=4，∴，∴CD=2．故答案为：2．点评：本题考查了直角三角形的性质和相似三角形的判定及性质的运用，在解答时运用直角三角形的性质求出角相等证明三角形相似是关健．17．（4分）已知等腰梯形的上、下两底长分别为4cm和6cm，将它的两腰分别延长交于一点，这个交点到上、下两底的距离之比为2：3．考点：等腰梯形的性质．菁优网版权所有分析：根据已知画出图形，利用等腰梯形的性质得出△EAD∽△EBC，进而利用相似三角形的性质得出交点到上、下两底的距离之比即可．解答：解：∵如图，等腰梯形的上、下两底长分别为4cm和6cm，将它的两腰分别延长交于一点E，∴AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，∴交点E到上、下两底的距离之比等于=（相似三角形对应高的比等于相似比）．故答案为：2：3．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，根据已知画出图形利用相似三角形的性质得出相似三角形对应高的比等于相似比是解题关键．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD⊥DE，DE=BE，若AC=6，BC=9时，则CD=4．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有分析：由在Rt△ABC中，∠C=90°，AD⊥DE，易证得∠ADE=∠C=90°，∠CAD=∠BDE，又由DE=BE，即可证得∠CAD=∠B，然后可证得△ACD∽△BCA，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD⊥DE，∴∠ADE=∠C=90°，∴∠ADC+∠BDE=90°，∠CAD+∠ADC=90°，∴∠CAD=∠BDE，∵DE=BE，∴∠BDE=∠B，∴∠CAD=∠B，∴△ACD∽△BCA，∴，∵AC=6，BC=9，∴，∴CD=4．故答案为：4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．（10分）如图，已知点A′、B′、C′分别在射线OA、OB、OC上，AB∥A′B′，BC∥B′C′．求证：AC∥A′C′．考点：平行线分线段成比例．菁优网版权所有专题：证明题．分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，，推出，即可得出答案．解答：证明：∵AB∥A′B′，∴=，∵BC∥B′C′，∴，∴，∴AC∥A′C′．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查学生的推理能力．20．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BD，sin∠ADC=，AC=4，求BC的长．考点：解直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有专题：计算题．分析：在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出sin∠ADC，将AC及已知sin∠ADC的值代入，求出AD的长，由AD=BD得到BD的长，再利用勾股定理求出DC的长，由BD+DC即可求出BC的长．解答：解：∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∴sin∠ADC=，∵sin∠ADC=，AC=4，∴AD=5，∴在Rt△ADC中，根据勾股定理得：CD==3，∵AD=BD，∴BD=5，∴BC=BD+DC=3+5=8．点评：此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握定义及定理是解本题的关键．21．（10分）如图，已知平行四边形ABCD，点E是AD边上的点，且AE=2ED，连接BE并延长交CD的延长线于点F，，，试用向量表示．考点：*平面向量．菁优网版权所有分析：首先利用AB∥CF，得出，进而求出DF，CF与AB的关系，再利用，，得出答案即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CF，∴，∵AE=2ED，∴，∴，∴，∵，，∴．点评：此题主要考查了平行四边形性质以及平行线的性质和平面向量等知识，根据已知得出=+是解题关键．22．（10分）如图，已知点F是正方形ABCD的边CD上的点，，AF与BD相交于点E，AF的延长线交BC的延长线于点G．求AE：EG的值．考点：平行线分线段成比例；正方形的性质．菁优网版权所有分析：根据正方形的性质和平行线分线段成比例的性质可得AD=BC，，依此可得，再根据平行线分线段成比例的性质可得AE：EG的值．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BG，AD=BC，∵AD∥BG，，∴，∴，∵AD=BC，∴，∵AD∥BG，∴．点评：考查了正方形的性质和平行线分线段成比例的性质，解题的关键是得到．四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，∠CED=∠BDC．（1）求证：△DCE∽△CBD；（2）若BC=2CD，S△ADE=1，求S△ABC的值．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：（1）利用平行线的性质得出∠EDC=∠DCB，进而利用∠CED=∠BDC即可求出△DCE∽△CBD；（2）利用相似三角形的性质得出，进而求出DE与BC之间关系，再利用△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质，面积比等于对应边比的平方即可得出答案．解答：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠CED=∠BDC，∴△DCE∽△CBD．（2）解：∵△DCE∽△CBD，∴，∵BC=2CD，∴，∴，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=1，∴S△ABC=16．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质等知识，根据已知得出=是解题关键．24．（12分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD=∠ECA．（1）求证：AC2=BC•CD；（2）若E是△ABC的重心，求AC2：AD2的值．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的重心．菁优网版权所有分析：（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，，进而得出△BAD∽△ACE，即可得出线段之间关系求出即可．解答：（1）