2019-2020学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试题及答案解析版

试卷第=page22页，总=sectionpages22页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat20页2019-2020学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．A、B两点的坐标分别为和，则线段AB的垂直平分线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求得直线的方程,则可设其垂线为,将的中点坐标代入即可求解【详解】由题,直线的两点式方程为:,即,设直线的垂线为,中点为,将点代入可得,则,所以,所以线段AB的垂直平分线方程为:,故选:A【点睛】本题考查线段的垂直平分线,考查直线方程2．是虚数单位，复数的虛部为（）A．0 B． C．1 D．【答案】C【解析】利用除法法则将整理为的形式,由虚部的概念即可判断选项【详解】由题,,故虚部为,故选:C【点睛】本题考查复数的概念,考查复数的除法法则的应用,属于基础题3．椭圆的焦点坐标为（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】由椭圆方程可得焦点在轴上,利用求得焦点坐标即可【详解】由题,焦点在轴上,则,所以,则焦点坐标为和,故选:B【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标,属于基础题4．抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，抛物线y=4x2的标准方程为x2=，其焦点在y轴正半轴上，且p=，则其准线方程为y=﹣；故选：D．5．记为等差数列的前项和.若，，则（）A．10 B．11 C．12 D．【答案】A【解析】利用等差数列前项和公式整理,可得,进而利用等差数列通项公式求解即可【详解】由题,因为,所以,即,因为,所以,所以,故选:A【点睛】本题考查等差数列前项和公式的应用,考查求等差数列的项6．圆上的点到直线的距离的最大值为（）A．4 B．8 C． D．【答案】D【解析】圆上一点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径的和,进而求解即可【详解】由题,圆的标准方程为:,即圆心为,半径为,则圆心到直线的距离为:,则圆上的点到直线的最大距离为,故选:D【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离,考查点到直线距离公式的应用7．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设共渐近线的双曲线方程为,将点代入可得,则双曲线方程为,进而求得离心率即可【详解】因为由共同的渐近线,设双曲线方程为:,将点代入方程可得,则,所以方程为,即,则,所以,故选:B【点睛】本题考查共渐近线的双曲线方程,考查双曲线的离心率8．二进制数是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是逢2进1，数值用右下角标（2）表示，例如：等于十进制数2，等于十进制数6，二进制与十进制数对应关系如下表十进制123456…二进制…二进制数化为十进制数举例：，二进制数化为十进制数等于（）A．7 B．15 C．13 D．31【答案】D【解析】由二进制数化为十进制数的例子可推导,求解即可【详解】由题,,故选:D【点睛】本题考查新定义运算,考查理解分析能力9．如图，已知点在正方体的对角线上，.设，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】将正方体放入空间直角坐标系中,利用求解即可【详解】如图建系,设正方体的棱长为1,则,,,,设,所以,,,因为,所以,所以,所以,因为,所以,解得或,因为在对角线上,所以,则,故选:C【点睛】本题考查空间向量法处理立体几何中的参数问题,考查运算能力10．双曲线的离心率为，圆的圆心坐标为，且圆与双曲线的渐近线相切，则圆的半径为（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由可得,则,根据圆与双曲线的渐近线相切,则圆心到渐近线的距离为,进而求解即可【详解】由题,,所以,则,渐近线方程为,即,因为圆与双曲线的渐近线相切,则圆心到直线距离为,故选:A【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的应用,考查直线与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用11．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，过作直线与抛物线相切，切点为，则的面积为（）A．32 B．16 C．8 D．4【答案】C【解析】由焦点坐标相同可得,则抛物线为,设直线为,与抛物线联立可得,由直线与抛物线相切,则,即可解得,进而求得点坐标,从而求得面积即可【详解】抛物线的焦点为,椭圆的焦点为,所以,即,所以抛物线方程为:,则为,设直线为,则联立,消去,可得,因为直线与抛物线相切,所以,则,当时,直线为,则点为,则,由抛物线的对称性,当时,,故选:C【点睛】本题考查抛物线与椭圆的焦点,考查直线与抛物线的位置关系的应用12．数列中，，，数列是首项为4，公比为的等比数列，设数列的前项积为，数列的前项积为，的最大值为（）A．4 B．20 C．25 D．100【答案】B【解析】先利用累加法求得,由等比数列的定义可得,设,若求的最大值,需使,即,分别设,,利用图象找到交点的范围,进而得到符合条件的整数,代回求解即可【详解】由题,,则,,…,,则,即,又数列是首项为4,公比为的等比数列,则,设,则数列的积为,若求的最大值,则,即,则,设,,则函数与的图象如图所示,设交点的横坐标为,则,则当时,；当时,,即,,则当时,；当时,,所以当时,取得最大值为,故选:B【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查函数法解决数列问题,考查数形结合思想二、填空题13．记为数列的前项和.若，则______________.【答案】63【解析】当时,则,可得,即是等比数列,进而求解即可【详解】当时,,即,所以,当时,,则,所以,则是首项为2,公比为2的等比数列,所以,则,当时,,故答案为：63【点睛】本题考查由与的关系求,考查等比数列的通项公式的应用14．平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则______.【答案】0或2【解析】由可得,则,求解即可【详解】由题,因为,则,即,解得或,故答案为：或【点睛】本题考查利用数量积表示垂直关系,考查线面垂直的性质的应用15．矩形ABCD中，AB长为3，AD长为4，动点P在矩形ABCD的四边上运动，则点P到点A和点D的距离之和的最大值为_________.【答案】8【解析】分别讨论在线段上、在线段上、在线段上、在线段上这4种情况,进而求解即可【详解】当在线段上时,；当在线段上时,当运动到点时,最大值为；同理,当在线段上时,当运动到点时,最大值为；当在线段上时,作点关于线段的对称点,则,如图所示,所以的最大值为,因为,所以最大值为8,故答案为:8【点睛】本题考查距离之和最大问题,考查分类讨论思想和运算能力16．设点、的坐标分别为和，动点P满足，设动点P的轨迹为，以动点P到点距离的最大值为长轴，以点、为左、右焦点的椭圆为，则曲线和曲线的交点到轴的距离为_________.【答案】【解析】由动点P满足,则可得到动点在以线段为弦的圆上,由圆的性质可得圆心为或,半径为2,则动点P到点距离的最大值为4,即可得到椭圆的方程,联立部分曲线的方程与椭圆方程求解即可【详解】由题,因为动点P满足,则动点在以线段为弦的圆上,因为点、关于轴对称,则圆心在轴上,设圆心为,原点为,因为,所以,则在中,,所以,,则圆心为或,当时,曲线的方程为；当时,曲线的方程为；显然,曲线关于轴对称,所以动点P到点距离的最大值为圆的直径,即,则长轴长为4,所以椭圆为,则曲线与曲线的图象如下图所示：因为曲线与曲线均关于轴对称,所以可只考虑轴上方形成的交点,即联立,消去得,,解得或（舍）,故曲线和曲线的交点到轴的距离为,故答案为:【点睛】本题考查椭圆的方程,考查圆与椭圆的位置关系的应用,考查动点的轨迹方程,考查运算能力三、解答题17．数列中，（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由递推公式整理可得,即可求证；（2）由（1）,先得到,则数列是首项为2,公比为2的等比数列,进而求解即可【详解】（1）证明：因为,所以,所以,所以数列为等比数列（2）解：由（1）得数列为以2为公比的等比数列,又,所以,所以,所以【点睛】本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式,考查等比数列通项公式的应用18．如图，在三棱锥中，，，为的中点..（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接,利用勾股定理证得和,进而得证；（2）以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,分别求得平面和平面的法向量,进而利用数量积求夹角即可【详解】解：（1）连接,因为为的中点,所以,因为,所以,所以,在中,因为,所以,,在中,,所以,即,因为,所以平面ABC,又因为平面,所以平面平面（2）解：由（1）得,故以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,如图所示,由题,,,,因为为的中点,所以的坐标为,所以,,设为平面的一个法向量,则,得,取,则,,即由（1）,平面平面,平面平面,平面,所以平面,为平面的一个法向量,,,所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力19．设抛物线的对称轴是轴，顶点为坐标原点，点在抛物线上，（1）求抛物线的标准方程；（2）直线与抛物线交于、两点（和都不与重合），且，求证：直线过定点并求出该定点坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析；直线恒过点.【解析】（1）设,将点代入方程求解即可；（2）当时显然不成立；当时联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理得到及的关系,由可得,代入即可得到与的关系,进而得到定点；当不存在时,联立直线方程与抛物线方程,同理运算即可【详解】解：（1）因为抛物线的对称轴是轴,设抛物线的标准方程为,因为抛物线经过点所以,所以,所以设抛物线的标准方程为（2）证明：当直线的斜率存在且时,显然直线与抛物线至多只有一个交点,不符合题意；当直线的斜率存在且时,设直线的方程为,联立,消去,得①；消去,得②；设,则为方程①的两根,为方程②的两根,,因为,所以,因为,所以,即,所以,即,所以直线的方程可化为,当时,无论取何值时,都有,所以直线恒过点,当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,把与联立得,则,因为,所以,即,得,所以直线的方程为,所以直线过点,综上,无论直线的斜率存在还是不存在,直线恒过点.【点睛】本题考查抛物线方程,考查抛物线中直线恒过定点问题,考查分类讨论思想和运算能力20．如图，正三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，是的中点.（1）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在指出点在线段上的位置，若不存在，请说明理由；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）存在，点为线段的中点（2）.【解析】（1）设的中点为,连接,以为坐标原点,分别以为、、轴建立空间直角坐标系,先求得平面的法向量,若平面平面,则平面,进而求解即可；（2）由（1），利用与求解即可【详解】（1）证明：存在点为线段的中点,使得平面平面，设的中点为,连接,以为坐标原点,分别以为、、轴建立空间直角坐标系,如图所示,因为正三棱柱的底面边长和侧棱长都为2,是的中点,所以在中,,则,所以,设为平面的法向量,则即,设,则,所以；因为,,所以,若线段上存在点,使得平面平面,设点坐标为,则,因为平面平面,所以也为平面的法向量,即,则,所以,所以点为线段的中点（2）解：由（1）得为平面的法向量,,则,所以直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量处理已知面面平行求点位置问题,考查空间向量法求线面角,考查运算能力21．记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知（1）求数列和数列的通项公式；（2）记为数列的前项和，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题,对等差数列可得,解得,进而求得通项公式；对于等比数列可得,解得,进而求得通项公式；（2）由（1）可得,利用错位相减法求和即可【详解】解：（1）设数列的首项为,公差为,设数列的首项为,公比为,由和得,所以,即数列的通项公式为；因为,由得,所以,则,所以数列的通项公式为（2）由（1）,,,,所以【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,考查求等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力22．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中为原点），求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先求出椭圆的焦点坐标和左、右顶点坐标,则由题意可得双曲线的,进而