湖北省十堰市沙洲中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

湖北省十堰市沙洲中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”。在某种玩法中，用an表示解下个圆环所需的移动最少次数，{an}满足，且，则解下4个环所需的最少移动次数为（

）A.7 B.10 C.12 D.22参考答案：A【分析】根据递推关系式，逐步求得的值.【详解】依题意.故选A.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查递推数列求某一项的值，属于基础题.2.已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．6+参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．【解答】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为xA﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周长的最小值为11，故选B．【点评】考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．4.某正弦型函数的图像如右图，则该函数的解析式可以为（

）.A．

B．

C．

D．参考答案：C5.若复数z满足A.1 B.2 C. D.5参考答案：D略6.设，且为正实数，则（

）(A)2

(B)1

(C)

0

(D)

参考答案：D略7.已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若，且，则=（

）A.32 B.31 C.30 D.29参考答案：B【分析】根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.【详解】因为，所以.因为，所以.所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.若执行如右图所示的程序框图，那么输出的值是A.B.2C.D.参考答案：B10.已知命题p：x∈R，x2＞0，则是（

）A.x∈R，x2＜0 B.x∈R，x2＜0 C.x∈R，x2≤0 D.x∈R，x2≤0参考答案：D【分析】直接利用全称命题的否定解答.【详解】因为命题p：x∈R，x2＞0，所以：x∈R，x2≤0故选D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆心在原点上且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________________．参考答案：x2+y2=212.若整数x，y满足不等式组，则的最小值为_______.参考答案：【分析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点处，目标函数取得最小值为.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意为整数，属于基础题.13.若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣3=0上，则实数p=；抛物线C的准线方程为．参考答案：6,x=﹣3.【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；规律型；函数思想；解题方法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线与坐标轴的交点，得到抛物线的焦点坐标，然后求出p，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：直线x+y﹣3=0，当y=0时，x=3，抛物线的焦点坐标为（3，0），可得p=6，抛物线的标准方程为：y2=12x，它的准线方程为：x=﹣3．故答案为：6；x=﹣3．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力．14.垂直于直线2x－6y+1=0且与曲线y=x3+3x2－5相切的直线方程是_______.参考答案：答案：3x+y+6=015.已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是________。参考答案：（-1，0）16.若向量满足，则向量与的夹角等于

．参考答案：17.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为

.

参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．参考答案：（Ⅰ）11；（Ⅱ）.【分析】(1)由，可得的值，将原式子化简可得答案；（2）由题意可得的值，由，可得的值.【详解】解：（I）由，可得，（Ⅱ）由，且，可得，，可得.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变化及化简求值，注意角的取值范围和三角函数值的符号，这是解题的易错点.19.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：

常喝不常喝合计肥胖

2

不肥胖

18

合计

30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，求出x的值，填表即可；（2）计算观测值K2，对照数表得出结论；（3）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，则=，解得x=6；填表如下；

常喝不常喝合计肥胖628不胖41822合计102030（2）由已知数据可求得：K2=≈8.522＞7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为e、f，则任取两人有AB，AC，AD，Ae，Af，BC，BD，Be，Bf，CD，Ce，Cf，De，Df，ef共15种．其中一男一女有Ae，Af，Be，Bf，Ce，Cf，De，Df共8种；故抽出一男一女的概率是P=．20.已知正项等比数列满足.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和.参考答案：（Ⅰ）由已知，,∴

．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ），，

．．．．．．．．．．．．6分，，

．．．．．．．．．．．．8分，

．．．．．．．．．．．．10分

．．．．．．．．．．．．12分21.（本小题满分13分）如图，四边形是正方形，平面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且.试题分析：（1）要证明线面平行，只要证线线平行，由中位线定理易得，注意写出线面平行判定定理的所有条件，都能得出结论；（2）求二面角，图形中有交于同一点的两两相互垂直的三条直线，如，又平面平面所以平面；（2）因为平面所以平面所以，又因为四边形是正方形，所以如图，建立空间直角坐标系，因为，所以因为分别为的中点，所以所以设为平面的一个法向量，则，即依题意可设，其中，由，则又因为，所以因为直线与直线所成角为，所以，即所以所以在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，此时.考点：线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角．【名师点睛】求二面角，一种方法是根据定义作出二面角的平面角（必须证明），然后解三角形而得，这对与二面角的棱垂直的直线易知的情况