不等式理科高考真题模拟新题

EE15．E1、E6[2012·福建卷]下列不等式一定成立的是

1≥2(x≠kπ，k∈Z)2 2x [解析] 定正确；Bsinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C0<D命题不正确 1≤10<x]a2≠0.求证：{an}12若2得，即aa2≠0a1＝1，得a1Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1，a2≠0an＋1≠0，因此

综上，

＝a2n∈N*成立，从而{an}1a2222n＝kak＝ak－122n＝k＋12n＝k＋12n∈N*，an＝an－1.因此{an}1a222(2)n＝12Sn＝n(a1＋an)22n≥3，a2＞－1a2≠0，由(1)a1＝1，an＝an－12

222222

2a2＝122当－1＜a2＜1时，ar－1an－r－1(r＝1,2，…，n－1)2222a2＞1时，ar－1an－r－1(r＝1,2，…，n－1)22a2＞－1a2≠1时，总有(ar－1)(an－r－1)＞0 222222r1n－1 2221＋a2＋a2＋…＋an＜2222n＝12

nn(a1＋an)a2＝1n

n当a≠1时，由(1)知S 2，a＝an－1，下证n-2-＜ ＜

2 (1＋an－1)(n≥3，a＞－1a2 当－1＜a2＜1222(n－2)an＋na22222222当－1＜a2＜0时，1－an－2＞022222220＜a2＜1a222222g(a2)＝(n－2)an1－(n－1)an2＋1g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a21)an3＜0222因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．aa2＞1b＝10＜b＜1a21－1 a2＜n1＋1a1－a2

2nan－12n

B11、B12、E1[2012·浙江卷]设 [解析]本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a>2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2xf(x)＝2x＋2xx＞0a＞bA正确，B错误．其余选项用D2、E1[2012·浙江卷]设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则 若数列{Sn}n∈N*Sn>0 [解析]n项和，数列的函数性质以及不等式知识，C显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{SSn＞0法二：由于S

＝dn2＋a－dn，根据二次函数的图象与性质知当

那么d>0，但对任意的n∈N*，Sn>0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.[点评]等差数列的求和与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据E213．E2[2012·山东卷]若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数 [解析]本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，容易题．去绝对值得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，又∵其解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.E3]的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值 [解析]破口为二次函数的性质及三个“二次”a2－4b＝0 f(x)<c解集为－a－c<x<－a＋ 2－a－2故

两式相减得－2＋11．E2、A1[2012·卷]已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合 [解析]本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算，考查运算求解能∵A＝{x∈R|－5<x<1}∴A∩B＝(－1,1)] B．(3,4) [解析]本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等．由于应选B.[点评]A2、A3、B3、E3[2012·卷]已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若①∀x∈R，f(x)<0则m的取值范围是 ]时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0m<02mm－31

当m∈(－1,0)时，2m>－m－3，只要－4>－m－3，解得m>1与m∈(－1,0)的交集为空集；m＝－1时，两根为－2；－2>－4m∈(－4，－1)时，2m<－m－3，所E3[2012·重庆卷]不等式2x＋≤0的解集为 1 [解析]不等式等价于

解得－2＜x≤116．B11、B12、E3[2012·重庆卷]设f(x)＝aln 1 在点(1，f(1))ya 解：(1)f(x)＝alnx＋1 f′(x)＝a－

y＝f(x)在点(1，f(1))y0a－1＋3＝0 (2)由(1)f(x)＝－lnx＋1 f′(x)＝－1－ f′(x)＝0x1＝1，x2＝－1(x2＝－1不在定义域内，舍去 x∈(0,1)时，f′(x)＜0f(x)在(0,1)x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．E4E5 ]

Dxy＝f(x)线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值 [解析]xx＝1y＝lnx求导，x当目标函数过点(0，－1)z5．E5[2012·山东卷]x，y满足约束条件

y的取值范围是

[解析]本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题．当目标函数线l移至可行域中的点A(2,0)时，目标函数有最大值z＝3×2－0＝6；当目标函数线l移至可行域中的B点1，3时，目标函数有最小值z＝3×1－3＝－3. 10．E5、H4[2012·重庆卷]设平面点集A＝(x，

0，B{x，y|x－12＋y－12≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为

—x 10D [解析]平面点集A表示的平面区域就是不等式组 xB表示的平面区域为以点(1,1)1为半径的圆及y＝1y＝xx1，即为 E5[2012·辽宁卷]x，y满足

则2x＋3y的最大值为 [解析]本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数不等式组表示的区域如图1－1所示，令z＝2x＋3y，目标函数变为y＝－2x＋z 当截距越大，z的取值越大，故当直线z＝2x＋3y经过点A时，z最大，由于

A的坐标为(5，15)z＝2x＋3yzmax＝552x＋3y 卷]x，y满足约束条件

z＝3x－y [解析]本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z 卷]若x，y满足约束条件

则x－y的取值范围是

[解析]z＝x－y.作出约束条件

zmin＝－3z＝x－yC(1,1)yz取得最大值，即zmax＝0，所以x－y∈[－3,0]．E5、 卷]设不等式组

DD随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 B.π

[解析]设A：点到坐标原点的距离大于

＝S＝S＝4E5[2012·卷]某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原1千克、B21A2千克、B1千克．每桶甲产品A、B12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800 B．2400C．2800 D．3100 [解析]xy则

zmax＝300×4＋400×4＝2800

]，实数m的最大值为 22

2[解析]2y＝2xy＝－x＋3m

x＝1，y＝2x＝1m≤1y＝2x上存在点(x，y)m

z＝3x＋y ]A点时，z最大，由

A(3,2)zmax＝3×3＋2＝11.8．E5[2012·江西卷]某农户计划种植黄瓜和，种植面积不超过50亩，投入超过54万元，假设种植黄瓜和的产量、成本和售价如下表年产量/年种植成本/41.20.5560.90.3 8．B[解析]考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划的实际应用、数形骤求解，即①设出x、y、z；②列出约束条件，确定目标函数；③画出可行域；④判断最优 原问题转化为在条件

下，求1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x，y

的交点(30,20)时，z 卷]设x，y满足约束条件

z＝x－2y范围 14．[答案

[解析]

表示的平面区域(界)z＝x－2yz＝x－2yM(1,2)时，z＝x－2y取得最小值－3，经过点N(3,0)时，z＝x－2y取得最大值3，所以z∈[－3,3]．E6

a2E1、E6[2012·福建卷]下列不等式一定成立的是

1≥2(x≠kπ，k∈Z)2 2x [解析] 定正确；Bsinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C0<D命题不正确 1≤10<xA2、C8、E6、E9[2012·卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，

15．①②③[解析]本题考查命题真判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本 π对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC<ab得π

ab＝a＋b≥2，则cosC>2

4c2＝4a2＋4b2－8abcosC<a2＋b2＋2abab(8cosC＋2)>3(a2＋b2)8cosC＋2>3a＋b≥6，则cosC>1，因为0<C<π，所

π＋b2c2<a2＋b2Cπ2对于④，(a＋b)c<2ab可变为2×1>1＋1≥2，可得ab>c，所以ab>c2，因为πc π，所以 12 11

对于⑤，(a2＋b2)c2<2a2b2可变为a2＋b2<c2，即c2>ab，所以

，所以cosC> ≥1，所

E7E8

b ]所给不等式条件同时除以c，三元换成两元．

c

记x＝c，y＝c

cccc

x为z＝yx

得交点坐标为C1，7，此时

＝7.y＝ex

解之得x0＝1，故切线方程为y＝ex，从而zmin＝e，所求取值范围为[e,7]．21．B12、B14、E8 卷]设a<1，集合f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6axD令h(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，3①当1<a<133a＝1时，Δ＝0h(x)＝03

4

a<3时，Δ>0h(x)＝01，1 ∵x1<x211

当a≤0时，D＝(x2，＋∞)．当a<1时，f(x)在R上的单调性如下表：xa1＋0—0＋3①当1<a<13由表可得，x＝af(x)D内的极大值点，x＝1f(x)D3a＝133由表可得，x＝1f(x)D310<a<31 4 4＝ 4≥4[3＋3a 4

由表可得，x＝af(x)Da≤0时，D＝(x2，＋∞)由表可得，f(x)D内单调递增．因此f(x)在D内没有极值点．21．B9、B12、E8[2012·陕西卷] 设 21．解：(1)b＝1，c＝－1，n≥2∵f1f(1)＝1－1×1<0，∴f(x)在1，1n2

x∈1，1 n＝2差M≤4.据此分类讨论如下：①当b>1，即|b|>22②当－1≤－b<00<b≤22M＝f2(1)－f－b＝b＋12≤4 20≤－b≤1，即－2≤b≤02M＝f2(－1)－f－b＝b－12≤4 max{a，b}a，b2当－1≤－b≤1，即－2≤b≤22M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f

＝1＋c＋|b|－－4＋c＝1＋|b|2≤4 2xnfn(x)在1，1内的唯一零点 fn(xn)＝xn＋xn－1＝0，fn＋

1

n1nn1n知 xnfn(x)在1，1 nnnnnn＝xn＋1＋x－1<xn＋xnnnnfn＋1(x)xn＋1在(xn,1)xn<xn＋1(n≥2)，所以，数列x2，x3，…，xn，…是递增数列．E9E9[2012·江苏卷]1－5xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某位于坐标原点．已知弹发射后的轨迹在方程y＝kx1 2－20(1＋k)x(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关 的射程是 弹落地点的求的最大射程17．解：(1)y＝0kx－1(1＋k2)x2＝0x＝20k＝

20＝10k＝1

所以的最大射程为10(2)a>0弹 判别式所以当a不超过6km时，可目标21．H10、E9[2012·卷]如图1－7所示，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MABMC.C|PR|解：(1)M的坐标为(x，y)x>0当∠MBA＝90°M的坐标为 1－tan2.即－|y| .

|y|22 而点(2，±3)3x2－y2－3＝0C

y由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)22所以解得，m>1 2－ 2－ 31－ 31－ 3 31－

m>1m≠2 31－1 31－1 31－1 31－1 所以|PR|的取值范围是(1,7)∪(7,7＋416．D5、E9[2012·卷]记[x]为不超过实数x的最大整数，例如 a[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足 a＝5时，数列{xn}3②对数列{xn}kn≥kn≥1时，xn＞kxk＋1≥xkxk＝[其中的真命题 ．(写出所有真命题的编号

16．①③④[解析]

2

2

对于②，取a＝3，则

2

2

2由此可知，n≥212，故②错误；对于③，由[x]的定义知[x]＞x－1，而a是正整数，故xn≥0，且xn是整数，n＝1时，x1＝a≥a>a－1

a于是 xn，由于xn和xn都是整数 a

xn＋a

故x＋ xn－1＝n

对于④，当x＋≥x时，得xk＋xk≥x，从 xk－x2k 2

即a－xk≥0a－xk≥a－xk≥0，即a－xk≥0xk≤ 结合③得：a－1＜xk≤axk＝[a].A2、C8、E6、E9[2012·卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，

15．①②③[解析]本题考查命题真判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本 π对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC<ab得π

ab＝a＋b≥2，则cosC>2

4c2＝4a2＋4b2－8abcosC<a2＋b2＋2abab(8cosC＋2)>3(a2＋b2)8cosC＋2>3a＋b≥6，则cosC>1，因为0<C<π，所

π＋b2c2<a2＋b2Cπ2对于④，(a＋b)c<2ab可变为2×1>1＋1≥2，可得ab>c，所以ab>c2，因为πc π，所以 12 11

对于⑤，(a2＋b2)c2<2a2b2可变为a2＋b2<c2，即c2>ab，所以

，所以cosC> ≥1，所

B14、E9、J3、D5[2012·卷]已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2an2xA.f(n)Ayan n

≥ a

n当0＜a＜1时，比较n

27fk－f2k4·0－f1

1

2，0y＝－x

则抛物线在点A处的切线方程为y＝－ an，即y＝－2anx＋an，则 2n n 由(1)f(n)＝a

≥ a≥2n n即知，an≥2n3＋1nn＝2a≥a＝17，n≥3 nnnnnn22n＝0,1,2时，显然( 故a＝17

≥ n na的最小值为n

n

a由(1)知f(k)＝ak， ＝ a

下面证明：n

27fk－f2k>4·0－f1

首先证明：当0<x<1时，1 ≥ 4≥44

43则 43 0<x<3时，g′(x)<0；当3<x<1g(x)在区间(0,1)≥ ≥27

4

4an

n 27n

≥427＝4

27>4·＝274 20121．[2012·漳州联考]若0<x<y<1，则下