2017高考数学大一轮复习讲义及配套题库理全书课件第三章

第三章 导数及其应用§3.3

定积分与微积分基本定理内容索引基础知识自主学习题型分类 深度剖析易错警示系列思想方法 感悟提高练出高分基础知识自主学习1.定积分的概念分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做在ʃbf(x)dx中，a

(2)ʃb[f

(x)±f

(x)]dx＝

；a

1

2b

ca，b积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx

叫做被积式.2.定积分的性质(1)ʃbkf(x)dx＝kʃbf(x)dx(k

为常数)；a

aʃbf

(x)dx±ʃbf

(x)dxa

1

a

2(2)ʃaf(x)dx＝ʃaf(x)dx＋

c

(其中a<c<b).ʃbf(x)dx知识梳理1答案3.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么baʃ

f(x)dx＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.b

bF(a).

F(b)－F(a)

F(x)|b为了方便，常把

F(b)－F(a)记作

a

，即ʃaf(x)dx＝F(x)|a

＝F(b)－答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃbf(x)dx＝ʃbf(t)dt.(√)a

aaa(3)若ʃbf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b

以及x

轴所围成的图形一定在

x

轴下方.(

×

)–0–02

1

2(6)曲线

y＝x

与

y＝x

所围成的面积是ʃ

(x

－x)dx.((4)若

f(x)是偶函数，则ʃa

af(x)dx＝2ʃaf(x)dx.(

√

)(2)若函数

y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃbf(x)dx>0.(

√

)(5)若

f(x)是奇函数，则ʃa

af(x)dx＝0.(

√

)×

)思考辨析答案––1.定积分ʃ2

2|x2－2x|dx

等于(

D

)A.5

B.6

C.7解析

ʃ2

2|x2－2x|dxD.80＝ʃ0

2(x2－2x)dx＋ʃ2(2x－x2)dxx–33＝(

－x

)|2

0–22x33＋(x

－

)|20＝8＋4＋4－8＝8.3

3考点自测212345解析答案D.4A.2

2

B.4

2

C.2解析

如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积.阴02

3

214S

＝ʃ

(4x－x

)dx＝(2x

－

x

)|4

204＝8－1×24＝4，故选D.2.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(

D

)12345解析答案3.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度

v(t)＝7－3t＋25

(t

的单位：s，v

的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继B.8＋25ln

11C.4＋25ln

53D.4＋50ln

2解析

令

v(t)＝0

得

t＝4

或

t＝－8(舍去)，40∴汽车行驶距离s＝ʃ

(7－3t＋3251＋t)dt32＝(7t－

t

＋25ln(1＋t))

|2

40＝28－24＋25ln

5＝4＋25ln

5.1＋t续行驶的距离(单位：m)是(

C

)A.1＋25ln

512345解析答案04.(2015·湖南)ʃ2(x－1)dx＝

0

.202

201

122解析

ʃ

(x－1)dx＝(2x

－x)|

＝

×2

－2＝0.12345解析答案00T

2301

133

T

3解析

∵ʃ

x

dx＝

x

|

＝

×T

＝9.∴T3＝27，∴T＝3.5.若ʃTx2dx＝9，则常数

T

的值为

3

.12345解析答案返回题型分类深度剖析––解析

ʃ1

1(x2＋sin

x)dx＝ʃ1

1x2dx＋ʃ1

1sin

xdx－

－01

2＝2ʃ

x

dx＝x3

1023

32· |

＝

.2例

1

(1)定积分ʃ1

1(x2＋sin

x)dx＝

3

.题型一

定积分的计算解析答案(2)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，0A.3442－x，x∈(1，2]，B.55C.6D.不存在解析

如图，ʃ2f(x)dx＝ʃ1x2dx＋ʃ2(2－x)dx0

0

101

13

2＝

x

|

＋(2x－

x

)|3

1

2

21＝1＋(4－2－2＋1)＝5.3

2

6则ʃ2f(x)dx

等于(

C

)解析答案思维升华思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点对被积函数要先化简，再求积分；求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分.(sin

x－acos

x)dx＝2，则实数a等于(

)(1)若A.－1B.1C.－

3D.

3解析(sin

x－acos

x)dx＝＝－a＋1＝2，a＝－1.Aπ20π20π20(－cosx－asinx)|跟踪训练1解析答案0(2)定积分ʃ2|x－1|dx＝

1

.解析

ʃ2|x－1|dx＝ʃ1|x－1|dx＋ʃ2|x－1|dx0

0

110ʃ1(1－x)dx＋ʃ2(x－1)dx0

1x2

x22

2＝(x－

)|

＋(

－x)|21221

1＝(1－2)＋(

2

－2)－(2－1)＝1.解析答案命题点1

利用定积分的几何意义计算定积分–例

2

ʃ1

1(

1－x2＋ex－1)dx＝

.题型二

定积分的几何意义解析答案–解析

ʃ1

1(

1－x2＋ex－1)dx＝ʃ1

1

1－x2dx＋ʃ1

1(ex－1)dx.－

－–因为ʃ1

1

1－x2dx

表示单位圆的上半部分的面积，－12即ʃ1

1－x2dx＝π，而ʃ1

1(ex－1)dx＝(ex－x)|1

1－

－e＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－1－2，－12

e所以ʃ1

(

1－x2＋ex－1)dx＝π＋e－1－2.答案

π＋e－1－22

e命题点2 利用定积分求平面图形面积4例

3

(1)如图所示，曲线

y＝x2

和直线

x＝0，x＝1

及

y＝1所A.2

B.3

31

1C.21D.4解析

由

x2＝1，得

x＝1或

x＝－1(舍)，4

2

2112

2210214

S＝

(－x

)dx＋

(x

－

)dx则阴影部分的面积为10121

1143144＝(

x－x3

)

|2

＋(

x3－x)

|1

＝

.围成的图形(阴影部分)的面积为(

D

)解析答案3(2)曲线

y＝x2

与直线

y＝kx(k>0)所围成的曲线边图形的面积为4，则

k解析y＝x2，x＝0，由

得

或x＝k，2y＝kx，

y＝0

y＝k

，0则曲线y＝x2

与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为ʃk(kx－x2)dx＝

k

12

3

k0k3

k342

3

2

3

3(

x

－

x

)|

＝

－

＝

，即k3＝8，解得k＝2.＝

2

.解析答案思维升华思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分；

(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.(1)定积分ʃ309－x2dx

的值为(A.9πB.3π C

9π.49解析

由定积分的几何意义知ʃ30D.2π9－x2dx

是由曲线y＝9－x2直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，3

2π·32

9故ʃ0

9－x

dx＝

4

＝4π，故选

C.C

)跟踪训练2解析答案解析由y＝2x2，y＝－4x－2，解得x＝－1，依题意可得，－122

3

2所求的封闭图形的面积为ʃ1

(2x

＋4x＋2)dx＝(3x

＋2x

＋2x)|3＝(2×13＋2×12＋2×1)－

2×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝16[33

.(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为16

3

.1-1解析答案例

4

一物体作变速直线运动，其

v－t

曲线如图所示，则该物体在1

s～6

s

间的运动路程为

m.2题型三

定积分在物理中的应用思维升华解析答案s＝

v(t)dt3136

13＋1)dt由变速直线运动的路程公式，可得312

631

494所以物体在1

s～6

s

间的运动路程是49

m.2

4答案494612112＝

2

tdt＋ʃ

2dt＋ʃ

(

t12＝t2

|1

＋2t|

＋(6t

＋t)|

＝

(m).解析

由图可知，v(t)＝2t213t＋1(0≤t≤1)，

(1≤t≤3)，(3≤t≤6).思维升华思维升华定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，a那么从时刻t＝a

到t＝b

所经过的路程s＝ʃbv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从ax＝a移动到x＝b

时，力F(x)所做的功是W＝ʃbF(x)dx.＝

13(

x

＋3

101x)|

＝342，即变力F(x)对质点M所做的功为342.设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为

342

.解析

变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝ʃ10F(x)dx＝ʃ10(x2＋1)dx1

1跟踪训练2解析答案返回易错警示系列易错分析本题在根据函数图象写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错.1典例

已知函数

y＝F(x)的图象是折线段

ABC，其中

A(0,0)，B(2，5)，C(1,0)，则函数

y＝xF(x)(0≤x≤1)的图象与

x

轴围成的图形的面积为

.易错警示系列5.利用定积分求面积时易错点解析答案易错分析温馨提醒返回解析

由题意，F(x)＝110x，0≤x≤2，12－10x＋10，

<x≤1，则xF(x)＝10x2，0≤x≤21，212－10x

＋10x，

<x≤1，所以函数y＝xF(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为1221210210x)dx10x

dx＋

(－10x

＋解析答案温馨提醒1012103＝

x3

|2

＋(5x2－x3

)

|13

)

(4＝10×1＋(5－10

－

5－10

1)＝53

8 3

×8

4答案54温馨提醒温馨提醒利用定积分求图形的面积要根据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积；注意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正.返回思想方法感悟提高1.求定积分的基本方法：利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a).利用定积分的几何意义求定积分.2.对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.方法与技巧若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.失误与防范返回练出高分C1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15A.e＋2

B.e＋1

C.eD.e－1解析

ʃ1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|1＝e.故选

C.0

001.定积分ʃ1(2x＋ex)dx

的值为(

)解析答案22.由曲线y＝sin

x，y＝cos

x

与直线x＝0，x＝π所围成的平面图形的面积是(

)A.1πB.42

2C.

3D.2

2－21

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案＝(sin

x＋cos

x)＋(－cos

x－sin

x)π40|π2π|解析

由sin

x＝cos

x(x∈(0，ππ2))，解得x＝4.故图中阴影部分的面积π

ππ04

S＝

4

(cosx－sinx)dx＋

2

(sinx－cosx)dx1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15π

4π

π

π

π

π＝sin4＋cos4－cos

0＋[(－cos2－sin2)－(－cos4－sin4)]＝2

2－2.(本题也可利用图形的对称性求解)答案

D3.一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)A.

3

J2

3B.

3

J4

3C.

3

J

D.2

3

J解析

ʃ2F(x)cos

30°dx＝ʃ21

132(5－x2)dx＝1335x－

x

×2＝433，3

213∴F(x)做的功为4

3

J.成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(

C

)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案4.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为(

)5A.2π

4B.33C.2πD.21

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案–0所以S＝ʃ1

1(1－x2)dx＝2ʃ1(1－x2)dx13＝2(x－

x

)|3

10＝2(1－1)＝4.3

3答案

B解析

根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)·(x－1)(a<0).因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15B.05.若定积分ʃm－24C.1

D.2A.－1解析

根据定积分的几何意义知，–定积分ʃm

2

－x2－2xdx

的值就是函数

y＝

－x2－2x的图象与

x

轴及直线x＝－2，x＝m

所围成图形的面积，2y＝

－x2－2x是一个圆心为(－1,0)，半径为1

的半圆，其面积等于π，－24

4而ʃm

－x2－2xdx＝π，即在区间[－2，m]上该函数图象应为1个圆，于是得m＝－1，故选A.－x2－2xdx＝π，则

m

等于(

A

)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案1

x01

x12x

2

1012解析

ʃ

(e

＋x)dx＝(e

＋

x

)|

＝e＋

－12＝e－1.e－16.ʃ0(e

＋x)dx＝

2

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案ππ3ππ33--解析

所求面积

＝cosxdx＝sinx

|3π

＝＝sinπ－(－sin

)

3.3

37.由直线x＝－π，x＝π，y＝0

与曲线y＝cos

x所围成的封闭图形的面积3

3为

3

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案8.一物体在力F(x)＝3x＋4，x>2(单位：N)的作用下沿与力F

相同的方＝5×2＋

3x2＋4x)|4(222＝10＋[3×42＋4×4－3×22＋4×2)]＝36(焦).(2向，从

x＝0

处运动到

x＝4(单位：m)处，则力

F(x)做的功为

36

焦.解析

由题意知，力F(x)所做的功为W＝ʃ4F(x)dx＝ʃ25dx＋ʃ4(3x＋4)dx0

0

21

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

155，0≤x≤2，解析答案39.求曲线

y＝

x，y＝2－x，y＝－1x

所围成图形的面积.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案故所求面积S＝ʃ101

3311

3x＋

x

dx＋ʃ

2－x＋

x

dx32

113

613x2

|3

20

1

＝

x

2

+

x|

＋

2x

-3

6

3＝2＋1＋4＝136

.解由y＝

x，y＝2－x得交点A(1,1)；由y＝2－x，1y＝－3x得交点B(3，－1).1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1510.在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位：s)所走过的路程s＝4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动速度v成正比，且当v＝10

m/s时，F＝5

N，求物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功.解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15∵s∈[1,4]，∴t∈[1，1]，2∴物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功W＝232t

dt＝32t33283＝

(J).112|1122∴F＝4t.dW＝Fds＝4t·d(4t2)＝32t2dt.解

∵物体经过时间t所走过的路程s＝4t2，∴速度v(t)＝s′＝8t.设F＝kv(t)，由“当v＝10

m/s

时，F＝5

N”知k＝1，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15A.－1

B.－131C.3D.10解析

∵f(x)＝x2＋2ʃ1f(x)dx，11∴ʃ

f(x)dx＝(3x3＋2xʃ1f(x)dx)|10

0

01310＝

＋2ʃ

f(x)dx，11.若

f(x)＝x2＋2ʃ1f(x)dx，则ʃ1f(x)dx

等于(

B

)0

01013∴ʃ

f(x)dx＝－

.故选B.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案B.S2<S1<S3D.S3<S2<S11

12

212.若S

＝ʃ

x

dx212

1x，S

＝ʃ

dx，32

xS

＝ʃ

e

dx，则S

，1

1

2

3S

，S

的大小关系为