辽宁省沈阳市第一0六中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析

辽宁省沈阳市第一0六中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，a1＋a19＝10，则a10的值为()A．5

B．6

C．8

D．10参考答案：A2.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度参考答案：C【分析】通过图象可以知道：最低点纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.【详解】由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数解析式中，得，所以，而，显然由向右平移个单位长度得到的图象，故本题选C.【点睛】本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.

3.（5分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（） A． x+y﹣5=0 B． 2x﹣y﹣1=0 C． 2y﹣x﹣4=0 D． 2x+y﹣7=0参考答案：A考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程．专题： 计算题；压轴题．分析： 求出PA的斜率，PB的倾斜角，求出P的坐标，然后求出直线PB的方程．解答： 由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|=|PB|，故直线PB的倾斜角为135°，又当x=2时，y=3，即P（2，3），∴直线PB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0．故选A点评： 本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查逻辑推理能力，计算能力，转化思想的应用，是基础题．4.已知集合M={x∈N|x2-1=0}，则有（）A. B.C. D.0，参考答案：D【分析】求出集合M，由此能求出结果．【详解】解：由集合，知：在A中，，故A错误；在B中，，故B错误；在C中，，故C错误；在D中，，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球.从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个白球的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D6.如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（） A． B． C． D．参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D． 【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C； 当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1， 则y=MN=M1N1=2BP1=2xcos∠D1BD=2是一次函数，所以排除D． 故选B． 【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法． 7.已知函数，其中a，b∈R．若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，则b的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】根据x+函数的性质可判断当a最小时，x越大函数值越大，当a越大时，x越小函数值越大，只需比较最大的即可．【解答】解：∵对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，∴当a=时，f（x）最大值为f（）=+b，当a=2时，f（x）最大值为f（）=+b，显然+b＞+b，∴+b≤10，∴b≤，故选A．8.A

B

C

D

参考答案：B9.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.化简．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：原式=．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若点在圆上，点在圆上，则的最小值是__________．参考答案：212.已知函数f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），若函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），则实数a的值为．参考答案：1【考点】反函数．【分析】根据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于y=x对称，利用对称关系可得答案．【解答】解：f（x）=3x+a的反函数y=f﹣1（x），∵函数y=f﹣1（x）的图象经过（4，1），原函数与反函数的图象关于y=x对称∴f（x）=3x+a的图象经过（1，4），即3+a=4，解得：a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了原函数与反函数的图象的关系，其象关于y=x对称，即坐标也对称，属于基础题．13.函数的定义域为----

.参考答案：14.三棱锥中，分别是的中点，若，且，

则与所成的角为_______.参考答案：略15.(13)数列，，，，，…的一个通项公式为_________.参考答案：an=略16.已知两个点Ａ(-3，-1)和Ｂ(4，-6)分布在直线-3x+2y+a=0的两侧，则a的取值范围为

.参考答案：略17.已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数的定义域为(0，1（为实数）．⑴当时，求函数的值域；⑵若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；⑶求函数在x∈(0，1上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值参考答案：（1）值域为

(2）在上恒成立，所以在上恒成立，所以。(3）当时，在上为增函数，所以，取最大值，无最小值。当时，函数在上为减函数，所以，取最小值，无最大值。当时，所以为减函数，为增函数，所以，取最小值，无最大值。19.已知数列{a}的前n项和为S，且S=－n+20n，n∈N．(Ⅰ)求通项a；(Ⅱ)设{b－a}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b}的通项公式及其前n项和T．参考答案：

20.如图，在直三棱柱中，，点是的中点.求证：（1）；（2）平面.

参考答案：21.（本小题满分14分）已知函数.（1）判断当时，函数的单调性，并用定义证明之；（2）求的值域；（3）设函数,，若对于任意,总存在，使成立，求实数的取值范围.参考答案：(1)函数在上是增函数.任取，则，，

在[－2,－1)为增函数.

……4分（2）由（1）知：函数在上是增函数(2) 解法一：①当时，对于任意，，不存在

使得成立

②当时，设g(x)的值域为B，则B=[－2|a|－2,2|a|－2]…11分

……14分解法二：①当时，对于任意，，不存在

使得成立

②当时，在[-2，2]是增函数，对于任意，，若存在，使得成立，则

③当时，在[-2，2]是减函数，，若存在，使得成立，则

综上，实数的取值范围是

……14分22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥PB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又AE?面PAC，∴AE⊥CD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，