山东省青岛市平度郭庄镇郭庄中学2022年高三数学理期末试卷含解析

山东省青岛市平度郭庄镇郭庄中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有（）个．A．6个 B．4个 C．7个 D．8个参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用导数求的f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R．分a=1、0＜a＜1、a＞1三种情况，研究方程跟的个数，从而得出结论．【解答】解：∵函数，令f′（x）=0可得x=0，x=2，在（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R．由函数g（x）的图象可得，当x=﹣3或x=时，g（x）=1．①当a=1时，若方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）=﹣3，此时方程有2个根，或f（x）=，此时方程有3个根，故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有5个根．②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）∈（﹣4，﹣3），此时方程有1个根，或f（x）∈（﹣3，﹣2），此时方程有3个根故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有4个根．③当a＞1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）∈（0，），或f（x）∈（，+∞），方程可能有4个、5个或6个根．故方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，故选A．2.下列说法正确的是(

)A．命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．“a＞1”是“f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件D．命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】直接写出特称命题的否定判断；由复合命题的真假判定判断B；由对数函数的单调性结合充分必要条件的判断方法判断C；利用辅助角公式把sinx+cosx化积求出范围判断D．【解答】解：命题“?x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3≥0”．故A错误；若p∧q为真命题，则p、q均为真命题，∴p∨q为真命题，反之，p∨q为真命题，p、q中可能一真一假，此时p∧q不是真命题．∴“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故B错误；若a＞1，则f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数；反之，若f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则a＞1．∴“a＞1”是“f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件．故C正确；∵sinx+cosx=，∴命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤”为真命题，则￢p是假命题．故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定由否命题，训练了充分必要条件的判断方法，是基础题．3.若的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=(

)A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：C【知识点】二项式定理的应用．J3令中x为1,可得各项系数和为,又展开式的各项二项式系数和为,∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,∴,解得n=6,故选：C．【思路点拨】本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为，最后通过比值关系为64即可求出n的值．4.设复数（是虚数单位），则=（

）A. B. C. D.参考答案：C略5.已知函数则a的值为

A．1

B．－1

C．D．参考答案：A略6.执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是(

) A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9参考答案：B考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．解答： 解：根据程序框图，运行结果如下：

S

k

第一次循环

log23

3第二次循环

log23?log34

4第三次循环

log23?log34?log45

5第四次循环

log23?log34?log45?log56

6第五次循环

log23?log34?log45?log56?log67

7第六次循环

log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3

8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．7.（本小题满分13分）已知椭圆，直线恒过的定点为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线为垂直于轴的动弦，且均在椭圆上，定点，直线

与直线交于点．

①求证：点恒在椭圆上；

②求面积的最大值．

参考答案：（1）;（2）见解析,（1）直线可化为

，由得，

，，又，，

椭圆的方程为

………5分

（2）①设直线的方程为，则可设，且

直线的方程为，直线的方程为

联立求得交点，代入椭圆方程得，

，化简得：

点恒在椭圆上.

……………9分

②直线过点，设其方程为，

联立得，

，

令，则

在上是增函数，的最小值为10.

………13分

8.已知符号函数，那么的大致图象是....（

）参考答案：D9.已知点，点的坐标满足条件，则的最小值是（

）A．

B．

C.

1

D．参考答案：B10.命题“?x＞0，＞0”的否定是（）A．?x＜0，≤0 B．?x＞0，0≤x＜1 C．?x＞0，≤0 D．?x＜0，0≤x≤1参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】写出命题“?x＞0，＞0”的否定，再等价转化即可得到答案．【解答】解：命题“?x＞0，＞0”的否定是“?x＞0，≤0“，又由≤0得0≤x＜1”，故命题“?x＞0，＞0”的否定是“?x＞0，0≤x＜1”，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}前n项的和为Sn，a1=1，an+an+1=2n﹣1，则S49=

．参考答案：1177考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列关系得到an+2﹣an=2，利用等差数列的求和公式即可得到结论．解答： 解：∵a1=1，an+an+1=2n﹣1，∴an+1+an+2=2n+1，两式相减an+2﹣an=2，即数列{an}的奇数项和偶数项，分别为等差数列，公差d=2，∵a1=1，∴a1+a2=2﹣1=1，即a2=0，则S49=（a1+a3+…+a49）+（a2+a4+…+a48）=25a1++24a2+=25+600+552=1177，故答案为：1177；点评：本题主要考查数列的和的计算，利用条件得到an+2﹣an=2是解决本题的关键，考查等差数列的求和的应用．12.外接圆的半径为1，圆心为O，且，则，，则的值是__________。参考答案：313.已知函数,若函数在上为单调函数,则的取值范围是

.参考答案：14.若点（其中）为平面区域内的一个动点，已知点,O为坐标原点，则的最小值为_____________。参考答案：13【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部．根据题意，将目标函数对应的直线进行平移，由此可得本题的答案．【详解】点坐标为，点坐标为，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，可得，将直线进行平移，可得当经过点时，目标函数达到最小值，．故答案为：13．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．15.复数满足=，则=

参考答案：516.若函数f（x）=2sin（x+）（2<x<10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）·=_____________．参考答案：32略17.已知实数满足不等式组，则的最大值是

.参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设二次函数满足，且的两个实根的平方和为，的图像过点，求的解析式。参考答案：由二次函数满足得，设顶点式为由得=

略19.已知e是自然对数的底数，函数与的定义域都是(0,+∞).（1）求函数在点处的切线方程；（2）判断函数零点个数;（3）用表示m，n的最小值，设，，若函数在(0,+∞)上为增函数，求实数c的取值范围．参考答案：（1）；（2）函数只有一个零点；（3）.【分析】（1）先求导数，代入得为直线的斜率，利用点斜式可求直线方程；（2）先求导数，结合导数的符号，判定零点的个数；（3）为增函数，转化为恒成立，然后利用分离参数法求解.【详解】（1）∵，∴切线的斜率，.∴函数在点处的切线方程为.（2）∵，，∴，，，∴存在零点，且.∵，∴当时，；当时，由得.∴在上是减函数.∴若，，，则.∴函数只有一个零点，且.（3）解：，故，∵函数只有一个零点，∴，即.∴.∴在为增函数在，恒成立.当时，即在区间上恒成立.设，只需，，在单调递减，在单调递增.的最小值，.当时，，由上述得，则在恒成立.综上述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用，切线问题求解时注意是在某点处的切线还是过某点的切线，利用导数求解参数的取值范围时，常用分离参数法，然后求解最值，综合性较强，难度较大，侧重考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.20.（12分）为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．解：（Ⅰ）由题意知，y=，将p=3﹣代入化简得：（0≤x≤a）；（Ⅱ）===﹣，当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增，当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，所以在上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为=13万元；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元．【点评】：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．21.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P、ABCD中，PA底面，底面ABCD是边长为2的菱形，M为PC的中