湖南省衡阳市常宁市东山中学高三数学文下学期期末试题含解析

湖南省衡阳市常宁市东山中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，如果截面是等腰三角形，则侧面与底面所成角的余弦值是A.

B.

C.

D.或参考答案：D2.的外接圆半径和的面积都等于1，则（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略3.设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.已知满足线性约束条件，若，，则的最大值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.已知是等差数列，若且它的前项和有最大值，则当取得最小正值时,为(

)

A.11

B．20

C．19

D．21参考答案：答案:C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为(

)

A.5π B.12π C.20π D.8π参考答案：【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积

G1

G2【答案解析】A

解析：由三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为1，1，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：，所以球的半径为：，这个几何体的外接球的表面积是：，故选：A【思路点拨】三视图表示的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥。把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积．7.已知是双曲线的左右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点,交另一条渐近线于点，且,则该双曲线的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：A由到渐近线的距离为，即有，则，在中，，化简可得，即有，即有，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.8.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．

参考答案：C略9.如图，正六边形中，(

)A． B． C．

D．参考答案：D略10.已知，其中为虚数单位，则

A.-1

B.1

C.2

D.3参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数x，y满足约束条件，则z=y﹣x的最大值等于．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（3，1）．将A代入目标函数z=y﹣x，得z=1﹣3=﹣2．故答案为：﹣212.函数,若，则__________．参考答案：2【分析】根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.【详解】由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.故答案为：2.【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。13.设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知的极坐标方程是：，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是

。参考答案：[-1,3]14.如图,在等腰三角形中,底边,,,若,则=

．参考答案：15.函数的图像在处的切线方程为_______.参考答案：

16.设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是________．参考答案：（2,6）17.若函数对任意实数满足：，且，则下列结论正确的是_____________．①是周期函数；②是奇函数；③关于点对称；④关于直线对称．

参考答案：①②③

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）是否存在实数a，使函数为奇函数，同时使函数为偶函数？若存在，请求出a值；否则，请说明理由。参考答案：解：为奇函数，所以f（0）＝0，得。

若g（x）为偶函数，则h（x）＝为奇函数，

h(－x)+h（x）＝0

∴存在符合题设条件的a＝。19.（本题满分13分）已知等比数列{}的公比=3，前3项和=.若函数=（＞0,0＜＜）在处取得最大值，且最大值为。（1）求函数的解析式.（2）若，，求的值。参考答案：【知识点】函数的解析式；三角函数的恒等变形.B1C7（1）；（2）解析：（1）由得，由已知有A=3，，。

（6分）（2）。（13分）【思路点拨】（1）先由得到得到，进而可得A以及的值，然后写出解析式即可；（2）根据已知得到，再进行变角，结合两角差的余弦公式即可得到结果。20.（18分）

a11，a12，……a18

a21，a22，……a28

… a81，a82，……a8864个正数排成8行8列,如上所示：在符合中，i表示该数所在的行数，j表示该数所在的列数。已知每一行中的数依次都成等差数列，而每一列中的数依次都成等比数列（每列公比q都相等）且，，。⑴若，求和的值。⑵记第n行各项之和为An（1≤n≤8），数列{an}、{bn}、{cn}满足，联（m为非零常数），，且，求的取值范围。⑶对⑵中的，记，设，求数列中最大项的项数。参考答案：⑴∵，

∴

∵成等差

∴

⑵设第一行公差为d，

解出：，

′

∵

∴

∴

∵

∴而

∴

∴是等差数列故∵∴∴ ⑶∵是一个正项递减数列∴，∴中最大项满足

解出：6.643<n≤7.643∵,∴n=7，即中最大项的项数为7项.21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=36°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．参考答案：【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】选作题；转化思想；推理和证明．【分析】（1）连接OB，根据三角形外心的性质可知：OA=OB；则在等腰△AOB中∠OBA=∠OAB；则再根据三角形内角和定理可以求得∠AOB的度数；最后根据圆周角定理可以求得β的度数；（2）由（1）可猜想α与β之间的关系是α+β=90°；同（1）一样∠OBA=∠OAB=α，则∠AOB=180°﹣2α，β=∠C=∠AOB，所以可求β=（180°﹣2α）=90°﹣α，则α+β=90度；（3）证明AC=BC=OA，过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=AC=OA，可得∠CAO=30°，∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，△ABC为正三角形，即可求α的度数．【解答】解：（1）连接OB，则OA=OB；∵∠OAB=36°，∴∠OBA=∠OAB=36°，∵∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA，∴∠AOB=180°﹣36°﹣36°=108°，∴β=∠C=∠AOB=54°．

…（2）α与β之间的关系是α+β=90°；证明：∵∠OBA=∠OAB=α，∴∠AOB=180°﹣2α，∵β=∠C=∠AOB，∴β=（180°﹣2α）=90°﹣α，∴α+β=90°．…（3）∵点C平分优弧AB，∴∴AC=BC，又∵BC2=3OA2，∴AC=BC=OA，过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=AC=OA，∴∠CAO=30°易得：∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，∴△ABC为正三角形，则：α=∠CAB﹣∠CAO=30°

…【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质以及圆周角定理．要熟练掌握这些性质定理才能灵活运用．22.已知：数列，中，,，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）求最小自然数，使得当时，对任意实数，不等式≥恒成立；（3）设