广东省惠州市长宁中学高二数学理下学期期末试卷含解析

广东省惠州市长宁中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将参加夏令营的720名学生编号为：001，002···720，采用系统抽样方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的第一个号码为004.又这720名学生分住在三个营区，从001到360在第I营区，从361到640在第II营区，从641到720在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为(

)

A．30，23，7

B．30，24，6

C．30，22，8

D．31，23，6

参考答案：B略2.若则是的（

）A

充分不必要条件

B

必要不充分条件

C充要条件

D

既不充分也不必要条件参考答案：B3.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数．A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①参考答案：C【分析】演绎推理的三段论的知识，选出正确的大前提、小前提和结论，由此得出正确选项.【详解】解：根据题意，按照演绎推理三段论，应为：大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2019是奇数，结论：2019不能被2整除；∴正确的排列顺序是②③①．故选：C．【点睛】本小题主要考查演绎推理的三段论知识的理解和运用，属于基础题.4.不等式的解集为（）A.(－1,1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(0,2)参考答案：C【分析】由绝对值不等式直接求解【详解】由不等式可得，解得，故选：C．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，准确计算是关键，是基础题5.若，，则P，Q的大小关系是（

）A．

B．

C.

D．由a的取值确定参考答案：C∵且，∴，又，∴，故选C.

6.已知随机变量ξ服从二项分布，即P（ξ=2）等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据随机变量ξ服从二项分布，ξ～B（6，），得到变量对应的概率公式，把变量等于2代入，求出概率．【解答】解：∵随机变量ξ服从二项分布，ξ～B（6，），∴P（ξ=2）==．故选D．7.抛物线y=x2的焦点坐标是（）A．（，0） B．（0，） C．（0，1） D．（1，0）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为（0，1）故选C．【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为()A．

B．

C．或

D．或参考答案：B9.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若与双曲线的交点恰为的中点,则双曲线的离心率为

(

)

A．

B．

C．2

D．3参考答案：A10.若动圆C的圆心在抛物线上，且与直线相切，则动圆C必过一个定点，该定点坐标为（

）A.(1,0) B.(2,0) C.(0,1) D.(0,2)参考答案：A【分析】直线为的准线，圆心在该抛物线上，且与直线相切，则圆心到准线的距离即为半径，那么根据抛物线的定义可知定点坐标为抛物线焦点.【详解】由题得，圆心在上，它到直线的距离为圆的半径，为的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点(1,0)，故选A.【点睛】本题考查抛物线的定义，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z=．参考答案：2：3：（﹣4）【考点】平面的法向量．【分析】求出、

的坐标，由?=0，及?=0，用y表示出x和z的值，即得法向量的坐标之比．【解答】解：，∴．故答案为2：3：﹣4．【点评】本题考查平面的法向量的性质以及两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．12.函数f(x)＝alnx＋x在x＝1处取得极值，则a的值为．参考答案：略13.若命题p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，则￢p：．参考答案：?x∈R，x2+x﹣1＜0【考点】特称命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全程命题，写出命题p的否定￢p即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全程命题，得命题p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，的否定是￢p：?x∈R，x2+x﹣1＜0．故答案为：?x∈R，x2+x﹣1＜0．【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题目．14.已知为钝角，sin（+）=，则sin（－）=

.参考答案： 试题分析：有题意可得cos（+）=±,由因为为钝角，所以cos（+）=，所以sin（－）=cos[-（-）]=cos（+）=.考点：1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式.15.若复数对应的点落在直线上，则实数的值是

参考答案：略16.过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|=

．参考答案：8【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．17.观察下列等式：23﹣13＝3×2×1＋1，33﹣23＝3×3×2＋1，43﹣33＝3×4×3＋1，53﹣43＝3×5×4＋1，…，照此规律，第n（n）个等式可以为“(n＋1)3﹣n3＝

”．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．（1）证明平面；（2）证明平面．

参考答案：

方法一：

（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在中，EO是中位线，∴PA//EO

而平面EDB且平面EDB，

所以，PA//平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴。

①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。而平面PDC，∴。

②由①和②推得平面PBC。而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD。

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。依题意得。∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且。∴，这表明PA//EG。而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB。（2）证明；依题意得，。又，故。∴。由已知，且，所以平面EFD。19.（10分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（－1，5）、B（－2，－1）、C（4，3）．求（1）求AB边所在的直线方程；（2）求BC的垂直平分线方程参考答案：略20.（10分）已知，且，

（1）求的最小值；

（2）求证：.参考答案：解：（1）当且仅当，即时，取到最小值.证明：（2）（*）当且仅当，即，即，即，k*s5*u即时，（*）式取到等号.略21.某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如下（单位：cm）（1）根据频率分布直方图，求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值．（2）在身高为140﹣160的学生中任选2个，求至少有一人的身高在150﹣160之间的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）根据中位数的左边和右边的直方图的面积相等可求中位数；计算每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和可得平均数．（2）根据频数=频率×样本容量，可以求出身高介于140～150的学生人数和身高介于150～160的学生人数，进而由组合数公式，可求出从身高在140﹣160的学生中随机抽取2名学生的事件个数及至少有一个人身高在150﹣160之间的事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．【解答】解：（1）中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5所以中位数的估计值为162.5．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．则平均数的估计值为145×0.1+155×0.3+165×0.4+17