湖北省宜昌市梅林中学2021-2022学年高二数学文月考试题含解析

湖北省宜昌市梅林中学2021-2022学年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a的取值范围是（

）A. B.C.或 D.参考答案：C【分析】首先求得切线方程，然后将问题转化为二次函数在给定区间上有两个交点的问题，最后分类参数，结合对勾函数的性质可得实数a的取值范围.【详解】由，，得，在点处的切线方程为，①函数，②由①②联立方程组可得：，其中,化简得：，③切线与该函数的图象在点有一个交点，只需要满足③在当时有两个不相同的交点，很明显不是函数的零点，整理方程可得：，问题转化为函数与平移之后的对勾函数有两个不同的交点，绘制函数的图像如图所示，结合均值不等式的结论可知，当时，，当时，，且当时，，结合函数图像可知，实数a的取值范围是：或.故选：C.【点睛】本题主要考查函数切线方程的求解，由函数的零点个数求参数的取值范围，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，“假设”正确的是（

）A．假设三个内角都不大于 B．假设三个内角都大于C．假设三个内角至多有一个大于 D．假设三个内角至多有两个大于参考答案：B3.已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足?=2，||?||=0，则该双曲线的方程是(

)A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由?=0，可得MF1⊥MF2进一步求出=36，由此得到a=3，则该双曲线的方程可求．【解答】解：∵?=0，∴即MF1⊥MF2，∴．则=40﹣2×2=36．∴|MF1|﹣|MF2|=6=2a．即a=3．∵c=，∴b2=c2﹣a2=1．则该双曲线的方程是：．故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了双曲线的性质和应用，解题时要注意向量的合理运用，是中档题．4.设袋中有60个红球，10个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.若，则下列不等式成立的是（）A、

B、

C、

D、参考答案：C略6.若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．7.函数的最大值为

（）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知为R上的奇函数，，则数列的通项公式为A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.若函数的导数为，则可以等于A．

B.

C．

D．参考答案：B略10.已知直线与平面、，给出下列三个命题：其中正确的是（

）A．若且，则； B．若且，则C．若，，则；

D．若参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列命题：①a>b与b<a是同向不等式；②a>b且b>c等价于a>c；③a>b>0，d>c>0，则>；④a>b?ac2>bc2；⑤>?a>b.其中真命题的序号是________．参考答案：③⑤12.已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为

；参考答案：24或13.抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A，B的坐标，再设出AB的方程，联立直线方程和抛物线方程，由焦半径结合|FA|=2|FB|求得A的坐标，代入两点求斜率公式得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由已知|FA|=2|FB|，得：x1+2=2（x2+2），即x1=2x2+2，①∵P（﹣2，0），则AB的方程：y=kx+2k，与y2=8x联立，得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，则x1x2=4，②由①②得x2=1，则A（1，），∴k==．故答案为：．14.过原点向曲线可作三条切线，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：略15.甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______.参考答案：；【分析】将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得.【详解】根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立；根据题意：乙恰好比甲多投进2次，包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.则乙投进3次，甲投进1次的概率为；乙投进2次，甲投进0次的概率为.故乙恰好比甲多投进2次的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题.16.函数f（x）=﹣的最大值是．参考答案：【考点】两点间距离公式的应用．【分析】明确函数的几何意义，利用三点共线，可求函数的最大值．【解答】解：f（x）=﹣=表示点P（x，x2）与A（3，2）的距离及B（0，1）的距离的差∵点P（x，x2）的轨迹是抛物线y=x2，B在抛物线内，A在抛物线外∴当P、B、A三点共线且B在AP之间时|PA|﹣|PB|最大，为|AB|（P、A、B不共线时三点可构成三角形，两边之差小于第三边）∵|AB|=∴函数f（x）=﹣的最大值是故答案为．17.设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（3，1），则|PM|+|PF1|的最小值为

．参考答案：9【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：|PF1|+|PF2|=2a=10，|MF2|=1，|PM|≥|PF2|﹣|MF2|，|PM|+|PF1|≥|PF2|﹣|MF2|+|PF1|≥10﹣1=9，即可求得|PM|+|PF1|的最小值．【解答】解：由题意可知：a=5，b=4，c=3，F2（3，0），连结PF2、MF2，如图，则|PF1|+|PF2|=2a=10，|MF2|=1，∵|PM|≥|PF2|﹣|MF2|，∴|PM|+|PF1|≥|PF2|﹣|MF2|+|PF1|≥10﹣1=9，∴|PM|+|PF1|的最小值9，故答案为：9．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）设函数是上的增函数，，（I）求证：若，则（II）写出（I）中命题的逆命题，并判断其真假（无需证明）。参考答案：解：设函数是上的增函数，，当时，,由是上的增函数可得，同理，所以.（II）设函数是上的增函数，，若，则.该命题是真命题。19.（12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。参考答案：（Ⅰ）的定义域为..当时，＞0，故在单调增加；当时，＜0，故在单调减少；当时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在单调减少，从而

，等价于，

①令，则①等价于在单调减少，即

.

从而

故的取值范围为.

略20.(本题满分13分)

已知关于x的二次函数（1）设集合和，从集合中随机取一个数作为，从中随机取一个数作为，求函数在区间上是增函数的概率；（2）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率。参考答案：解（1）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且……2分若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1，；………………4分∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为………………7分（2）由（1）知当且仅当且>0时，函数在区间上为增函数，ks5u依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分。………………9分由………∴所求事件的概率为………………13分

21.已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1． （Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）当时，，求导；从而求极值； （Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导=；从而求a． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， ； 由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2； 故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减； 所以当x=2时，函数f（x）取得极大值； （Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内， 即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立， 即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立； 设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1）， 只需g（x）max≤0即可； 由=； （ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0， 函数g（x）在（1，+∞）上单调递减， 故g（x）≤g（1）=0成立； （ⅱ）当a＞0时，由， 令g′（x）=0，得x1=1或； ①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0， 函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数， g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件； ②若，即时， 函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增， 同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件； （ⅲ）当a＜0时，由， 因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0 22.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：K2=P（K2＞k0）0.100.05

0.010.005k02.7063.841

6.6357.879参考答案：【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用2×2列联表中的数据计算观测值x2，对照表中数据即可得出结论；（2）利用列举法求出从这5名学生中任取3人的基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：（1）将2×2列联表中的数