贵州省遵义市余庆县敖溪中学2021年高二数学理联考试题含解析

贵州省遵义市余庆县敖溪中学2021年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（

）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁参考答案：A2.某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15∶3∶2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n为（

）（A）20

（B）30

（C）40

（D）80参考答案：C3.在数列{an}中，已知an+1=2an，且a1=1，则数列{an}的前五项的和等于（） A．﹣25 B．25 C．﹣31 D．31参考答案：D【考点】等比数列的前n项和． 【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：∵an+1=2an，且a1=1， ∴数列{an}为等比数列，公比为2． ∴数列{an}的前五项的和==31． 故选：D． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.为双曲线C：的左焦点，双曲线C上的点与关于轴对称，A．9

B．16

C．18

D．27

参考答案：C5.用秦九昭算法计算多项式当时的值时，则（

）A．6 B．15 C．31 D．63参考答案：B所以，选B.

6.实数满足，则下列不等式正确的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A7.如图，甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是

（

）A．

B．

C．40

D．参考答案：A8.集合，．若集合，则b应满足（

）A.或 B.C.或 D.参考答案：A【分析】先化简集合，再由，转化为直线与曲线无交点，结合图像，即可求出结果.【详解】由题意可得，因为，由可得：直线与曲线无交点，由得或，作出曲线的图像如下：由图像易知，当直线恰好过时，恰好无交点；因此时，满足题意；综上或.故选A【点睛】本题主要考查根据直线与圆位置关系求参数的范围，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.9.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28参考答案：D【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果．【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49．故选D．10.设,且,则（）A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数其中，是的小数点后第n位数字，例如，则（共2013个f）=

.参考答案：112.连接双曲线和（其中）的四个顶点的四边形面积为，连接四个焦点的四边形的面积为，则当的值最大时，双曲线的离心率为

.参考答案：略13.三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示,则这个三棱柱的全面积等于

▲

参考答案：14.若,,且函数在处有极值，则的最大值等于_____________.参考答案：915.若复数是纯虚数，则实数等于______.参考答案：1略16.若.则的最大值是

.参考答案：略17.已知函数在(－∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是________.参考答案：函数在上单调递增，又函数的对称轴；解得；

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.双曲线上一点到左，右两焦点距离的差为2．（1）求双曲线的方程；（2）设是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，求的面积；（3）过作直线交双曲线于两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．参考答案：（3）若直线斜率存在，设为，代入得若平行四边形为矩形，则无解若直线垂直轴，则不满足．故不存在直线，使为矩形．

19.（本小题满分12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．参考答案：（1）直线AB方程为：．依题意解得∴椭圆方程为．

……………4

20.如图2，在气象站台A的正西方向的B处有一台风中心，该台风中心以每小时的速度沿北偏东的BD方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响.⑴台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？参考答案：解：（1）如图，过A作AE⊥BD于E，由于台风中心在BD上移动，所以AE就是气象台距离台风中心的最短距离.在Rt⊿ABE中,AB=240,∠ABE=30°,∴AE=AB=120.所以台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是120km.（2）因为台风中心以每小时的速度沿北偏东的BD方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响,所以画以A为圆心,为半径的圆与直线BD相交于C,D两点,那么线段CD就是气象台A受到台风影响的路程.在Rt⊿ACE中,AC=130,AE=120,∴CE==50,∵AC=AD,AE⊥CD,∴CE=ED=50,∴CD=100.∴台风影响气象台的时间会持续100÷50=2(小时).略21.数列{an}为正项等比数列，且满足a1+a2=4，a32=a2a6；设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设正项等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=4，a32=a2a6，可得a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q，a1，即可得出an．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．b1=，解得b1．n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．（2）cn=anbn=（2n﹣1）?2n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=4，a32=a2a6，∴a1（1+q）=4，，即q2=4．解得q=2，a1=2．∴an=2n．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=．∴b1=，解得b1=1．n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣，化为：（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，∴bn﹣bn﹣1=2，∴数列{bn}是等差数列，公差为2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）cn=anbn=（2n﹣1）?2n，∴数列{cn}的前n项的和Tn=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）?2n，∴2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1，∴﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）?2n+1=﹣2+﹣（2n﹣1）?2n+1=（3﹣2n）?2n+1﹣6，∴Tn=（2n﹣3）?2n+1+6．22.已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．参考答案：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用展开式项的系数，由已知，求出n，（1）令x=