湖南省长沙市麻田中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省长沙市麻田中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A.

B.C.

D.参考答案：C2.设函数，则下列结论错误的是

A．的值域为{0，1}

B．是偶函数

C．不是周期函数

D．不是单调函数参考答案：3.等差数列中，已知，，公差，则的最大值为(

)A．7

B．6

C．5

D．8参考答案：B略4.如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，在△ADE以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．（，） D．（，）参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：设∠BAD=θ，（0≤θ≤），则∠CAE=θ，则=（﹣）?（﹣），将其展开，运用向量的数量积的定义，再由两角和差的余弦公式，化简得到﹣2cosθ，再由余弦函数的性质，即可得到范围．解答：解：设∠BAD=θ，（0≤θ≤），则∠CAE=θ，则?=（﹣）?（﹣）=?﹣?﹣?+?==1×1×cos﹣1×2×cos（）﹣2×1×cos（）+2×2×cos=﹣2（cosθ+sinθ+cosθ﹣sinθ）=﹣2cosθ，由于0≤θ≤，则≤cosθ≤1，则≤﹣2cosθ≤．故选：A．点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题5.已知，则函数与函数的图象可能是

（

）.参考答案：B6.设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，进行大小比较，从而得出相应答案。【详解】根据指数函数的单调性可得：，即，，即，由于，根据对数函数的单调性可得：，即，所以，故答案选B。【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小。7.计算lg4+lg25=

(

)A．2

B．3 C．4 D．10参考答案：A8.已知函数f（x）＝｜x＋｜－｜x－｜，若关于x的方程f（x）＝2m有四个不同的实根，则实数m的取值范围是（

）A．（0，2）

B．（2，＋∞）

C．（1，＋∞）

D．（0，1）参考答案：D9.已知集合，，则（

）A．(3,4)

B．(－∞,－1)

C．(－∞,4)

D．(3,4)∪(－∞,－1)参考答案：D10.若等差数列{an}的前三项为x﹣1，x+1，2x+3，则这数列的通项公式为(

)A．an=2n﹣5 B．an=2n﹣3 C．an=2n﹣1 D．an=2n+1参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】由等差数列{an}的前三项为x﹣1，x+1，2x+3，知（x+1）﹣（x﹣1）=（2x+3）﹣（x+1），解得x=0．故a1=﹣1，d=2，由此能求出这数列的通项公式．【解答】解：∵等差数列{an}的前三项为x﹣1，x+1，2x+3，∴（x+1）﹣（x﹣1）=（2x+3）﹣（x+1），解得x=0．∴a1=﹣1，d=2，an=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3．故选B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知成等差数列，则等比数列{an}的公比为__________．参考答案：【详解】由，，成等差数列得，即则所以或（舍），故答案为.12.数列{an}中，，则__________an=___________．参考答案：7

【分析】由题意，用叠加法，可得的通项公式，即得解.【详解】在数列中，……故答案为：【点睛】本题考查了利用叠加法求数列的通项公式，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.13.如图6，为了测量、两点间的距离，选取同一平面上、两点，测出四边形各边的长度（单位：）：，，，，且与互补，则的长为_______.参考答案：7，故答案为7.14.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右，根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是__________．

参考答案：答案：4015.四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为．参考答案：考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积．解答：解：四棱锥P﹣ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R==1，所以球的体积为：．故答案为：．点评：本题是基础题，考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．16.设=

参考答案：，，∴.17.若，则

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.直三棱柱中,,点在上.(Ⅰ)若是中点,求证:平面;(Ⅱ)当时,求二面角的余弦值.参考答案：解：(Ⅰ)连接交于点,连接,

因为直三棱柱中侧面为矩形,所以

为的中点,又是中点,

于是,且面,AC1?平面B1CD

所以平面;(Ⅱ)由知,即,

又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间

直角坐标系如右图所示,于是,

又,由平面几何易知,

显然平面的一个法向量为,又设平面的一个法向量为,则由,得,解得,取,则,设二面角的平面角为,则,又由图知为锐角,所以其余弦值为.略19.某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边，两个路口进行了8天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且路口数据的平均数比路口数据的平均数小2.（1）求出路口8个数据中的中位数和茎叶图中的值；（2）在路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率.参考答案：（1），；（2）.试题分析：（1）由茎叶图可得路口个数据中为最中间两个数，由此计算中位数，又路口个数（2）在路口的数据中任取2个大于35的数据，有如下10种可能结果：（36,37），（36,38），（36,42），（36,45），（37,38），（37,42），（37,45），（38,42），（38,45），（42,45）.………………9分111]其中“至少有一次抽取的数据不小于40”的情况有如下7种：（36,42），（36,45），（37,42），（37,45），（38,42），（38,45），（42,45）.故所求的概率为.………………………12分考点：样本特征数、古典概型．20.（本小题满分13分）某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线相切于点M.A为上半圆弧上一点，过点A作的垂线，垂足为B．市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：)，(单位：弧度）．(I)将S表示为的函数；(II)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．参考答案：（Ⅰ）如图，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．

……3分则S＝MB·AB＝×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．……6分（Ⅱ）S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝或cosθ＝－1(舍去)，此时θ＝.

…………8分当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：θS′＋0－S极大值所以，当θ＝时，S取得最大值Smax＝3750m2，此时AB＝150m，即点A到北京路一边的距离为150m.

…………13分21.如图,在底面是正三角形的直三棱柱中,,D是BC的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．参考答案：（1）连接交于点O由题意知O为的中点,D为BC中点，所以，因为平面，平面，所以平面…………6分（2）。

…………12分22.设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），则f′（1）=0，即可得出结论．【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+2，∴f′（1）=1，