山东省青岛市崂山区第五中学高二数学文测试题含解析

山东省青岛市崂山区第五中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.空间四点A、B、C、D满足||=3，||=7，||=11，||=9，则?的取值为（）A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；转化法；平面向量及应用．【分析】先把ABCD看成是平面图形，过B作BE垂直AC，过D作DF垂直AC，运用勾股定理，可得E，F重合，再将图形沿AC或BD折起，便是空间图形，运用线面垂直的判定和性质，得AC⊥BD，再由向量数量积的性质，即可得到答案．【解答】解：由||=3，||=7，||=11，||=9，知AB2+CD2=BC2+DA2=130，BC2﹣AB2=CD2﹣DA2；先把ABCD看成是平面图形，过B作BE垂直AC，过D作DF垂直AC，则AB2=AE2+BE2，BC2=CE2+BE2，则BC2﹣AB2=CE2﹣AE2．同理CD2﹣DA2=CF2﹣AF2，即CF2﹣AF2=CE2﹣AE2，又因为A，E，F，C在一条直线上，所以满足条件的只能是E，F重合，即有AC垂直BD，再将图形沿AC或BD折起，便是空间图形；由AC⊥BE，AC⊥DE，即有AC⊥平面BDE，则AC⊥BD，即?=0，所以?的取值只有一个．故选：A．【点评】本题考查了空间中直线和平面的位置关系，以及向量的数量积的应用问题，也考查了空间想象能力，是中档题目．2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若，则的面积为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】设直线的方程为，与抛物线联立，设，由，所以，结合韦达定理可得，，由可得解.【详解】因为抛物线的焦点为所以，设直线的方程为，将代入，可得，设，则，，因为，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面积，故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，由转化为是解题的关键，属于基础题.3.函数的极大值是（

）A.

2

B.

C.

2和

D.

不存在参考答案：B4.已知点P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值是（

） A．8

B．

C．10

D．参考答案：B5.在等比数列{an}中，若的值为(

)A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4参考答案：B【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】把所求的式子利用等比数列的性质化简，即可求出a6的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简后，将a6的值代入即可求出值．【解答】解：由a2a3a6a9a10=（a2a10）?（a3a9）?a6=a65=32=25，得到a6=2，则==a6=2．故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题．学生化简已知条件时注意项的结合．6.在下列各数中，最大的数是（）A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．11111（2）参考答案：B考点： 进位制；排序问题与算法的多样性．

专题： 计算题．分析： 欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．解答： 解：85（9）=8×9+5=77；210（6）=2×62+1×6=78；1000（4）=1×43=64；11111（2）=24+23+22+21+20=31．故210（6）最大，故选B．点评： 本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．7.直线（t是参数）被圆截得的弦长等于（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长.【详解】直线（是参数），消去参数化为普通方程：．圆心到直线的距离，∴直线被圆截得的弦长.故选：D．【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题.8.直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，x的系数为（

）A.20 B.-20 C.5 D.-5参考答案：A分析】先通过积分运算得出a值为4，再通过二项展开式的通项公式计算含有x的项，得出系数.【详解】由，得x=0，或x=2，或x=-2，因为a为在第一象限围成的封闭图形面积，所以，展开式中的第项为，由可得，所以展开式中的系数为.【点睛】本题考查定积分的应用、二项式定理、二项展开式通项公式、考查一定的计算能力，本题的易错点在于区分项的系数和二项式系数，属于基础题.9.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于…（▲）A． B．1 C． D．参考答案：D略10.a、b、c是空间三条直线，a//b,a与c相交，则b与c的关系是

（

）A．相交

B．异面

C．共面

D．异面或相交

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的最大值为__________________；参考答案：略12.参考答案：(2)(3)13.如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为．参考答案：考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角；空间向量及应用．分析：利用向量的夹角公式即可得出．解答：解：如图所示，建立空间坐标坐标系．取正方体的棱长为2．则A（1，2，0），B（2，2，1），D（0，0，2），C（2，1，2）．∴=（1，0，1），=（﹣2，﹣1，0）．∴===﹣．∴异面直线AB和CD的夹角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查了建立空间直角坐标系并利用向量的夹角公式求异面直线的夹角方法，属于基础题．14.设，则函数在=________时，有最小值__________。参考答案：

解析：15.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为

.参考答案：16.等比数列中，已知对任意正整数，…，则…等于____________.参考答案：略17.极坐标方程的直角坐标方程是

。

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）已知抛物线在点处的切线与直线垂直，求函数的最值．参考答案：由于，所以，所以抛物线在点）处的切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，即，又因为点在抛物线上，所以，得．因为，于是函数没有最大值，当时，有最小值．19.（12分）已知抛物线过点（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线C有公共点，且直线与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.参考答案：（I），x=-1；(II)y=-2x+1.20.（12分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

(1)求证：DC平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦；(3)求二面角B－EF－A的余弦．参考答案：（Ⅰ）证明：在图甲中∵且

∴，，

…………(1分)在图乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．

…………(3分)又，∴DC⊥BC,且∴DC平面ABC．

…………(4分)（Ⅱ）解法一：∵E、F分别为AC、AD的中点∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，∴EF⊥平面ABC，垂足为点E∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角

……………(5分)在图甲中，∵,

∴,设则,，

……………(7分)∴在Rt△FEB中，即BF与平面ABC所成角的正弦值为．

…………(8分)解法二：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设，则，

…………(5分)可得,,，，∴,

……………(6分)设BF与平面ABC所成的角为，由（1）知DC平面ABC∴

∴

…………(8分)（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知FE⊥平面ABC，又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角

…………(10分)在△AEB中，∴即所求二面角B－EF－A的余弦为．

…………(12分)解法二：由（Ⅱ）知,,，，；则，，(9分)设平面的法向量为，平面的法向量为，则，；；解得；

即，

……………(11分)．即所求二面角B－EF－A的余弦为．………(12分)21.在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（I）求sinA的值；（II）设b=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由已知可求C﹣A=，结合三角形内角和定理可求A=﹣，利用两角差的正弦函数公式即可化简求值．（Ⅱ）由正弦定理可求BC=的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（I）由sin（C﹣A）=1，可得：C﹣A=，且C+A=π﹣B，∴A=﹣，∴sinA=sin（﹣）=（cos﹣sin），∴sin2A=（1﹣sinB）=，又sinA＞0，∴sinA=．（Ⅱ）由正弦定理得，可得：BC==