广西壮族自治区桂林市西场中学2021年高三数学理期末试卷含解析

广西壮族自治区桂林市西场中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.球面上有七个点，其中四个点在同一个大圆上，其余无三点共一个大圆，也无两点

与球心共线，那么经过球心与球面上的任意两点可作球的大圆有

A．15个

B．16个

C．31个

D．32个参考答案：B2.已知向量，，且，那么y等于A．－1 B．1 C．－4 D．4参考答案：B3.已知i为虚数单位，复数z满足，则（

）A. B. C. D.参考答案：C由题得.故选C.4.若函数满足，且，则的值为 A、 B、 C、 D、参考答案：B5.（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个参考答案：C【考点】：元素与集合关系的判断．【专题】：集合．【分析】：根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．解：根据好元素的定义，由S的3个元素构成的集合中，不含好元素的集合为：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}．故选C．【点评】：考查对好元素概念的理解，以及子集的概念，元素与集合的关系．6.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（）A．sinx

B．－sinx

C．cosx

D．－cosx参考答案：答案：C7.在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且=（

）

A．

B．

C．

D．2参考答案：C略8.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24这24个整数中等可能随机产生。则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为A． B．

C． D．参考答案：C由程序框图知，输出y的值为3时x为3的倍数的偶数，即，概率为，选C.

9.函数

(x∈［-π,0］)的单调递增区间是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知均为单位向量，且它们的夹角为，那么（）A.1

B.

C.

D.参考答案：【知识点】向量的数量积F3A因为，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设则＝ .参考答案：略12.已知函数，则方程f（x）=﹣3的解为．参考答案：1或﹣2【考点】函数的零点．【分析】由函数的解析式可得方程f（x）=﹣3可化为，或．分别求出这两个混合组的解，即为所求．【解答】解：函数，则由方程f（x）=﹣3可得，，或．解得x=1，或x=﹣2，故答案为1或﹣2．13.设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1=e2，则e1=．参考答案：

【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，根据双曲线的几何性质可得，=以及离心率以及a，b，c的关系即可求出答案．【解答】解：设∠F1AF2=2θ根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ=b12，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=c2（﹣1）根据双曲线的几何性质可得，==b22，∵e2=a2=∴b22=c2﹣a22=c2（1﹣），∴c2（﹣1）=c2（1﹣），即+=2，∵3e1=e2，∴e1=故答案为：【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．14.函数的部分图像如图所示，

.参考答案：15.不等式的解集是

．参考答案：16.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．解答：解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12﹣4a1a2+a12=0，a1=3a2，e1?e2==1，解得e2=．故答案为：．点评：本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“黄金搭档”的含义．17.中,则=________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（I）求函数的最小正周期。(II)

求函数的最大值及取最大值时x的集合。参考答案：（1）因为f（x）=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1所以函数f（x）的最小正周期为T==π（2）由（1）知，当2x+=2kπ+，即x=kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值因此函数f（x）取最大值时x的集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}19.（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N+）．（1）求an和Sn；（2）若bn=，数列{bn}的前n项和Tn．求证：3≤Tn＜24．参考答案：（1）∵{an}是等差数列，a1=3，公差为d，∴a4=3+3d，a13=3+12d，∵a1、a4、a13成等比数列，∴（3+3d）2=3（3+12d），整理得d2﹣2d=0，∵差d≠0，∴d=2，∴an=3+（n﹣1）×2=2n+1，=n（n+2）．（2）∵Sn﹣3an=n（n+2）﹣3（2n+1）=n2﹣4n﹣3=（n﹣2）（n﹣﹣2），∵n∈N+，由Sn≤3an，得n，由Sn＞3an，得n＞2+．∵4＜2+＜5，∴，当n≤4时，Tn=Sn=n（n+2）；当n≥5时，Tn=T4+[+…++]=24+[（）+（）+（）+…+（）+（）]=24+（﹣）=24﹣，∴Tn＜24，又数列{Tn}为递增数列，∴Tn≥T1=3，∴3≤Tn＜24．20.设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列。（1）求数列的通项公式；（2）记的前项和为，求。参考答案：略21.（10分）如图，CF是△ABC边AB上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC．（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；（2）若CQ=4，AQ=1，PF=，求CB的长．参考答案：【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：立体几何．【分析】：（1）证明∠QCF=∠QPF，利用同角的余角相等，可得∠A=∠CPQ，从而可得：四点A、B、P、Q共圆；（2）根据根据射影定理可得：在Rt△CFA中，CF2=CQ?CA，进而可求出CF长，利用勾股定理，解Rt△CFP，可求出CP，再在Rt△CFB中使用射影定理，可得答案．证明：（1）连接QP，由已知C、P、F、Q四点共圆，∴∠QCF=∠QPF，∵∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°，∴∠A=∠CPQ，∴四点A、B、P、Q共圆．…（5分）解：（2）∵CQ=4，AQ=1，PF=，根据射影定理可得：在Rt△CFA中，CF2=CQ?CA=4×（4+1）=20，在Rt△CFP中，CP==，在Rt△CFB中，CF2=CP?CB，∴CB=6…（10分）【点评】：本题考查的知识点是圆内接四边形的证明，射影定理，难度不大，属于基础题．22.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.参考答案：解：（1）设椭圆的半焦距为c.