福建省莆田市中学高三数学理联考试卷含解析

福建省莆田市中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为(

)A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈R D．y=sin（x﹣），x∈R参考答案：C【考点】向量的物理背景与概念．【专题】计算题．【分析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w的值变为原来的倍，得到答案．【解答】解：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．属基础题．2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．16参考答案：B【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底==4，∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．3.已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】根据元素和集合的关系可知1∈A且1∈B，即可求出m，n的值，问题得以解决．【解答】解：A={2，log7m}，B={m，2n}，A∩B={1}，∴1∈A且1∈B，∴log7m=1，2n=1∴m=7，n=0，∴m+n=7．故选：C4.已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第三象限，且，设=2，则等于

（

）A.-2

B.2

C.-3

D.3参考答案：C略5.已知函数，且，则的值是（）A.

B.

C.

D.参考答案：A：因为，所以，所以，故选A.6.若满足条件，,的有两个，那么的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：D略7.已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为，则a=（）A．5 B． C．2 D．1参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：先作出不等式，对应的区域，如图：若z=2x+y的最大值为，则2x+y≤，直线y=a（x﹣2）过定点（2，0），则直线2x+y=与x+y=3相交于A，由得，即A（，），同时A也在直线y=a（x﹣2）上，即a（﹣2）=，得a=1故选：D．8.如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AB=AA1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB，②A1B⊥NB1，③平面AMC1⊥平面CBA1其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】棱柱的结构特征．【分析】先证明AM⊥A1B，AM∥NB1，即可得解A1B⊥NB1，又AC1⊥A1B，进而可证平面AMC1⊥平面CBA1，利用面面垂直的性质可证C1M⊥平面A1ABB．【解答】解：∵由已知，设AA1=1，则可求：A1M=，AM==；AB=，A1B==，∴sin∠A1AM=，cos∠A1AM=，sin∠AA1B=，cos∠AA1B=，∴设A1B与AM交于点Q点，则：sin∠A1QA=sin[π﹣（∠AA1B+∠A1AM）]=sin（∠AA1B+∠A1AM）=sin∠AA1Bcos∠A1AM+cos∠AA1Bsin∠A1AM=+=1，∴A1B⊥AM．∵MB1AN，∴四边形ANB1M为平行四边形，可证：AM∥NB1，可得：A1B⊥NB1，故②正确；又AC1⊥A1B，所以A1B⊥平面AMC1，所以，平面AMC1⊥平面CBA1，故③正确；显然有C1M⊥平面A1ABB．故①正确；故选：D．9.六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻，在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（

）A、B、C、D、

参考答案：A略10.设集合，则下列关系中正确是（

）

A．A=B

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则实数a的取值范围是

．参考答案：12.在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且，，若点N在线段CD上，则的取值范围是______.参考答案：13.已知复数满足，则=

；

参考答案：１略14.已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝

．参考答案：略15.在中，若则角

．参考答案：16.函数存在极值，则实数m的取值范围是

A．（-1，2）

B．

C．

D．参考答案：B17.复数为虚数单位）的虚部是 .参考答案：答案:1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．参考答案：【考点】解三角形；二倍角的余弦；余弦定理．【分析】（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，∴=90°﹣，由得：，∴，整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，解得：，∵0°＜C＜180°，∴C=60°；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab?ab=6，∴．19.已知数列{an}的前n项和Sn满足，且（1）求数列的通项公式an；（2）记，Tn为{bn}的前n项和，求使成立的n的最小值.参考答案：（1）；（2）n的最小值为5.【分析】（1）先由，可知数列为等差数列，进而求出的表达式，再由求出的通项公式；（2）利用裂项相消求和法先求出，进而可以求出满足题意的.【详解】（1）由已知，数列为等差数列，且，，即，当时，，又也满足上式，；（2）由（1）知，

，由有，有，所以，的最小值为5.【点睛】裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.常见的拆项公式：；若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则.20.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PG=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．参考答案：证明：（1）∵为圆的切线，切点为，为圆的一条直径，∴，，∴，∵∴在中，，即，∴．∵，∴，即，∴；………………5分（2）连接，则∵，为圆的一条直径，∴∴，∵，∴，∴，∴为圆的一条直径，∴线段与互相平分．………………10分21.如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）参考答案：【考点】极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2，…，13）依据题意P（Ai）=，Ai∩Aj=?（i≠j）（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=…（Ⅱ）X的所有可能取