浙江省台州市新桥中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

浙江省台州市新桥中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知sin（α－）=，则cos（α+）=（）A． B． C． D．参考答案：A【分析】利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故选：A．2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）。A．

B．

C．．

D．参考答案：C知识点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．解析：解：A中，为奇函数，故排除A；

B中，为非奇非偶函数，故排除B；

C中，的图象关于轴对称，故为偶函数，且在上单调递减，

D中，为偶函数，在时，单调递减，在时，单调递增，故排除D,所以在上不单调.故选C．思路点拨：利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．3.已知数列{an}满足a1=1,且,且n∈N）,则数列{an}的通项公式为（

）A． B．C．an=n+2 D．an=（n+2）·3n参考答案：B【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2∵an=an-1+()n（n≥2）∴3n?an=3n-1?an-1+1

∴3n?an-3n-1?an-1=1∵a1=1，∴31?a1=3

∴{3n?an}是以3为首项，1为公差的等差数列∴3n?an=3+（n-1）×1=n+2,∴【思路点拨】由题意，整理可得{3n?an}是以3为首项，1为公差的等差数列，由此可得结论．4.已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是(

)A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]参考答案：C【考点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的单调区间．【专题】计算题．【分析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则当x∈[2，+∞）时，x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故选C【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．5.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A.所有不能被2整除的数都是偶数

B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数是偶数

D.存在一个能被2整除的数不是偶数参考答案：D略6.已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D

因为的最小值为,结合函数图像如图所示:分析可得.故D正确.考点：1函数方程,零点;2数形结合思想.7.已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是A.

B.C.

D.参考答案：D∵函数在上单调递减∴时，∵对任意都有∴，且令，则∴，即∵，∴选项，，不一定成立由以上分析可得故选D

8.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于（A）2i

(B)i (C)-i

(D)-2i参考答案：D解析：代入法最简单9.已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A10.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（

）①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；②调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；③已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)等于0.1587④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为

.参考答案：不妨设F为左焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为M,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则说明直角三角形FMO为等腰直角三角形，所以渐近线的的斜率为1，即，所以，所以双曲线的离心率为。12.在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数有零点的概率为

参考答案：13.已知角的终边过点的值为

。参考答案：14.设是线段的中点，点在直线外，，，则

。参考答案：215.数列{an}中，Sn是其前n项的和,若a1＝1，an+1＝Sn（n≥1），则an＝

参考答案：16.若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，若数列是等比数列，且，则有________也是等比数列．参考答案：17.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则线段AB的长等于___________参考答案：答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设，且满足：，，求证：.参考答案：，，，又，，.………………10分19..[选修4—5：参数方程选讲]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线c1的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是(1)求曲线c1的普通方程和曲线c2的直角坐标方程；(2)若两曲线交点为A、B，求参考答案：（1）曲线的普通方程是:曲线的直角坐标方程是：.............5分(2)因为是过点（）的直线所以的参数方程为：

（为参数）代入的普通方程，得解得，故...........10分20.在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E是PA的中点，且BE与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．参考答案：【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，然后证明BD⊥PC．（Ⅱ）说明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE与面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt△PEO中，证明PO⊥AO．推出PO⊥面ABCD．方法一：说明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．通过求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值．方法二：以建立空间直角坐标系，求出平面BEC的法向量，平面AEC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）又PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．（2分）PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）又PC?面PAC，所以BD⊥PC．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．在Rt△BOE中，，BO=1，所以．在Rt△PEO中，，，所以．所以，又，所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．（6分）又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（7分）方法一：过O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．（9分）在△PAC中，，所以PA2+PC2=AC2，即AP⊥PC．所以．（10分），得，（11分），，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）方法二：如图，以建立空间直角坐标系，，B（0，1，0），，，，，．（9分）设面BEC的法向量为，则，即，得方程的一组解为，即．（10分）又面AEC的一个法向量为，（11分）所以，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．21.设命题p：函数的定义域为R；命题对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.参考答案：略22.已知曲线与轴有唯一公共点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为.若两个不相等的正实数，满足，求证：.参考答案：（Ⅰ）解：函数的定义域为..由题意，函数有唯一零点..（1）若，则.显然恒成立，所以在上是增函数.又，所以符合题意.（2）若，.；.所以在上是减函数，在上是增函数.所以.由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）①若，则.令，则.；.所以函数在上是增函数，在上是减函数.所以.所以，当且仅当时取等号.所以，，且.取正数，则；取正数