广东省湛江市中学高三数学文期末试题含解析

广东省湛江市中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（09年宜昌一中12月月考理）已知数列的通项公式为，设其前n项和为Sn，则使Sn<-5成立的自然数n有（

）A．最小值63

B．最大值63

C．最小值31

D．最大值31参考答案：A2.在等差数列中，若，则的值为(

)

A．20

B．22

C．24

D．28参考答案：C3.若，且，则下列不等式中，恒成立的是(

).

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知等差数列满足且，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.（5分）函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：函数的图象．【专题】：数形结合．【分析】：根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．解：∵是偶函数，排除A，当x=2时，，排除C，当时，，排除B、C，故选D．【点评】：本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的奇偶性及特殊点来判断．7.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(

) A． B． C． D．或参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由a2，a3，a1成等差数列得到关于q的方程，解之即可．解答： 解：由题意设等比数列{an}的公比为q（q＞0），∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3=a2+a1，∵a1≠0，∴q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=（舍去）；∴=﹣．故选C．点评：本题考查了等差与等比数列的通项公式的应用问题，是基础题．8.已知直线l和平面，且，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】由线面垂直的判定定理可得充分性成立；由或可得必要性不成立，从而可得结论.【详解】由线面垂直的判定定理可得，若，则，充分性成立；若，，则或,必要性不成立，所以若，则“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题通过线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.9.设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数为ai（i=1，2，…n）的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为(

)A．48 B．120 C．144 D．192参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据8和7的特点得到8和7的位置，题目转换为数列123456保证5的顺序数是3就可以，分两种情况讨论，6在5前面，此时5一定在第5位，除6外前面有3个数，6在5后面，此时5一定在第4位上，6在后面两个数字上，根据分类原理得到结果．【解答】解：由题意知8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比他小现在对其他数的顺序数没有影响，∵在8后面又比其他数小∴这两个可以不管可以把题转换为数列123456保证5的顺序数是3就可以了，∴分两种情况6在5前面，此时5一定在第7位，除6外前面有3个数，故有4×4×3×2×1=96种6在5后面，此时5一定在第6位上，6在后面两个数字上，故有2×4×3×2×1=48∴共有96+48=144种结果，故选C．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．7.实数、满足，且的最大值不小于1，则实数的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求值：=．参考答案：1【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值．【解答】解：===1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．12.若集合，，则

.参考答案：略13.已知数列的前项和，且满足，则正整数___.参考答案：814.给出下列5个命题：①是函数在区间（，4]上为单调减函数的充要条件；②如图所示，“嫦娥探月卫星”沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行,若用2Cl和2c2分别表示摘圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则有；③函数与它的反函数的图象若相交，则交点必在直线y=x上；④己知函数在（O,1)上满足，，贝U；⑤函数.，，/为虚数单位）的最小值为2其中所有真命题的代号是_____________________参考答案：②④.略15.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．参考答案：130

15【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质?数学的应用意识?数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.16.设i、j、n∈N*，i≠j，集合Mn={（i，j）|4?3n＜3i+3j＜4?3n+1}，则集合Mn中元素的个数为个．参考答案：2n【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】对j或者i讨论，不妨设i=j=t，可得4?3n＜2?3t＜4?3n+1，两边取对数，ln2+nln3＜tln3＜ln2+（n+1）ln3，求解t即可得到集合Mn中元素的个数【解答】解：由题意，不妨设i=j=t，可得4?3n＜2?3t＜4?3n+1，即2?3n＜3t＜2?3n+1，两边取对数，ln2+nln3＜tln3＜ln2+（n+1）ln3，可得：t≤n+1．那么：i+j=2（n+1）=2n+2个．∵i≠j，∴集合Mn中元素的个数为2n个．故答案为2n．【点评】本题主要考查集合的证明和运算，转化的思想，属于中档题．17.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示。（I）直方图中的值为

；（II）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为

。参考答案：ⅰ)0.0044；ⅱ)70；略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）若函数在处取得根值，求的值和函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由题意知，，且，解得.此时，令，解得或，令，解得，则函数的单调递增区间是和，单调递减区间是（Ⅱ），当时，在上恒成立，则函数在区间上单调递增，∴当时，；当时，令，解得，令，解得，则函数在区间（）上单调递减，在上单调递增，，即，解得；综上所述，实数的取值范围为.19.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且AP=．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ?平面ADE，且AD，DE?平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．20.已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于x轴上方的A，B两点，且，(1)求椭圆的离心率；(2)(i)求直线AB的斜率；(ii)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点在的外接圆上，求的值.

参考答案：解：(1)由得，-------------------------1分从而

-------------------------2分

整理，得，

-------------------------3分故离心率

------------------------4分(2)解法一：(ⅰ)由（I）得，所以椭圆的方程可写------------5分

设直线AB的方程为，即.

由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.

------------------------6分依题意，而

①

②

------------------------7分由题设知，点B为线段AE的中点，所以

③联立①③解得，

------------------------8分将代入②中，解得.

------------------------9分解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程

消去，解得解出(依照解法一酌情给分)(ⅱ)由(ⅰ)可知当时，得，由已知得.

------------------------10分线段的垂直平分线l的方程为

-------------11分直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.

------------------------12分

直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组

，

------------------------13分由解得故

------------------------14分21.某班高三期中考试后，对考生的数学成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．得到频率分布直方图如图所示，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图；（Ⅱ）现从成绩在[130，150]的学生中任选两人参加校数学竞赛，求恰有一人成绩在[130，140]内的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）设第四，五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，且x+y=1﹣（0.020+0.015+0.035+0.005）×10，由此能求出结果．（2）依题意样本总人数为40人，成绩在[130，150]的学生人数为6人，其中成绩在[130，140]内有有4人，成绩在[140，150]内的有2人，由此能求出从成绩在[130，150]的学生中任选两人参加校数学竞赛，恰有一人成绩在[130，140]内的概率．【解答】解：（1）设第四，五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，①x+y=1﹣（0.020+0.015+0.035+0.005）×10，②由①②解得x=0.015，y=0.010，从而得出直方图如下图所示：（2）依题意样本总人数为=40，成绩在[130，150]的学生人数为：（0.010+0.005）×10×40=6人，其中成绩在[130，140]内有有0.010×10×40=4人，成绩在[140，150]内的有2人，∴从成绩在[130，150]的学生中任选两人参加校数学竞赛，基本事件总数n==15，恰有一人成绩在[130，140]内包含的基本事件个数m==8，∴恰有一人成绩在[130，140]内的概率p==．22.设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式