福建省宁德市防城中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析

福建省宁德市防城中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（

）万元x12345y1015304550

A.60 B.63 C.65 D.69参考答案：B【分析】根据表中数据求出，然后根据线性回归方程中系数的求法得到，进而得到回归方程，然后求出当时的函数值即为所求．【详解】由表中数据可得，，又回归方程中，∴，∴回归方程为．当时，所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元．故选B．【点睛】本题考查线性回归方程的求法和其应用，考查计算能力和应用意识，解题的关键是求出系数，属于基础题．2.已知△ABC中，，E为BD中点，若，则的值为（

）A.2

B.6

C.8

D.10参考答案：C由已知得：

所以.3.命题p：若?＞0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上都是减函数，则f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，下列说法中正确的是（） A．“p或q”是真命题 B．￢p为假命题 C． “p或q”是假命题 D． ￢q为假命题参考答案：B略4.如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线，则它的表面积为（）A．2 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图还原几何体，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥的组合体，根据各边是边长为1的等边三角形求表面积．【解答】解：如图所示，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥．则该几何体的表面积S=8×=2；故选B．5.设变量满足约束条件则的最大值为（

）A． B．

C．

D．参考答案：C略6.阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式

，若在两边同乘以，并令，则左边

.因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果.则

（

）

A．-2

B．1

C.-1

D．2参考答案：D试题分析：，故选D.考点：定积分的计算.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36π B．8π C．π D．π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，根据直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径与表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；如图所示；则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，∴外接球的表面积是4πR2=8π．故选：B．8.

已知函数，则

(

)A．32

B．16

C.

D．参考答案：C9.已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．10.已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(本小题满分14分)如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为.过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积.参考答案：(1)由椭圆定义可知.由题意,.又由△可知

，,，又，得.

椭圆的方程为.

(2)直线的方程为.由

得点的纵坐标为.又，.略12.已知点的坐标满足条件点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于_____．参考答案：，做出可行域，由条件知，可行域为三角形ABC。当点P在点A时，最小，当点P在C点时最大，由方程组可知,所以最小值为，最大值为。13.设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为

.参考答案：514.在等差数列{an}中，已知，则=_______________.参考答案：20∵数列{an}是等差数列，且，∴3a5=15，a5=5..答案为20.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系，利用整体代换思想解答.15.已知函数______________.参考答案：3略16.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}满足xn+1=xn﹣，设an=ln，若a1=，xn＞2，则数列{an}的通项公式an=．参考答案：2n﹣2（n∈N*）【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得xn+1=，求得an+1=ln=2ln=2an，运用等比数列的通项公式即可得到所求．【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），f′（x）=a（2x﹣3），则xn+1=xn﹣=xn﹣=，由a1=，xn＞2，则an+1=ln=ln=2ln=2an，即有an=a1qn﹣1=?2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N*）．17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若3，a7，a5也成等差数列，则S17．参考答案：51【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列通项公式求出a1+8d=3．再由=17（a1+8d），能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，3，a7，a5也成等差数列，∴2（a1+6d）=3+（a1+4d），a1+8d=3．=17（a1+8d）=51．故答案为：51．【点评】本题考查等差数列的第17项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知各项为正的数列是等比数列，且，；数列满足：对于任意，有=.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)在数列的任意相邻两项与之间插入个()后，得到一个新的数列.求数列的前2016项之和.参考答案：【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等比数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.【参考答案】(1)由得，

………2分

………4分（2），得.

………5分当时，.

………8分于是.

………10分（3）设数列的第项是数列的第项，即.当时，.

………12分，，，

………14分设表示数列的前n项之和.则.其中，.又，则===因此，.

………18分19.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案解析】（1）g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值；（2）当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）；（3）（－∞，2]．

解析：（1）g（x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，可得g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值．

（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．当a≤0时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，

①当x≥a时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（a，＋∞）上单调递增；

②当0＜x＜a时，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．

当0＜a≤1时，h′（x）＞0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；

当a＞1时，当0＜x＜1时h′（x）＞0，当1≤x＜a时h′（x）≤0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减．

综上，当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．（3）不等式（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立，即（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．当0＜x＜1时，x2－1＜0；lnx＜0，则（x2－1）lnx＞0；当x≥1时，x2－1≥0；lnx≥0，则（x2－1）lnx≥0．因此当x＞0时，（x2－1）lnx≥0恒成立．又当k≤0时，k（x－1）2≤0，故当k≤0时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．下面讨论k＞0的情形．记△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．综上，当（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．【思路点拨】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=f（x）﹣x+1的极值；（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数h（x）=f（x）+|x﹣a|（a为实常数）的单调区间；（3）注意：①适当变形后研究函数h（x）；②当k＞2时，区间（1，k﹣1）是如何找到的．20.已知函数f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，（1）试讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若存在a∈（e，+∞），对任意的都有|f（x1）﹣f（x2）|＜（m+eln3）a+3e成立，求实数m的取值范围．（e=2.71828…）参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值和最小值，问题转化为m＞2eln3+1﹣，令g（a）=2eln3+1﹣，（a∈（e，+∞）），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=alnx+a+b，∴f′（1）=a+b=0，故b=﹣a，∴f（x）=axlnx﹣ax，且f′（x）=alnx，当a＞0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；a＜0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（2