湖南省长沙市高塘岭镇第一中学高三数学文联考试卷含解析

湖南省长沙市高塘岭镇第一中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n==6，则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2，由此能求出这个两位数大于30的概率．【解答】解：从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n==6，则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2，∴这个两位数大于30的概率为P==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．2.某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.下图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班的成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升.其中正确结论的个数为(

)A．0

B．1

C.2

D．3参考答案：D4.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有（

）A．个

B．个

C．个

D．无数个参考答案：B5.（5分）（2013?山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2C．D．1参考答案：B【考点】：正弦定理；二倍角的正弦．【专题】：解三角形．【分析】：利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选B【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．6.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞,0)上单调递增的函数是

（

）A. B. C. D.参考答案：C试题分析：A：函数为偶函数，在上单调递减，B：函数为偶函数，在上单调递减，C：函数为偶函数，在上单调递增，D：函数为奇函数．所以综上可得：C正确．考点：函数奇偶性、函数的单调性．7.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于220C”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为，众数为；②乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．则肯定进入夏季的地区有

(

)A．0个

B．1个 C．2个 D．3个参考答案：C甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于220C，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，，若，上式显然不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29．8.某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中表示m除以n的余数，例如.若输入m的值为8，则输出i的值为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B模拟执行程序框图，可得：，，，满足条件，满足条件，，，满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，，，…，，可得：，，，∴共要循环次，故．故选B．9.设函数，则函数存在零点的区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知：sinα＋cosβ＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是A．[－2，2]

B．[－，2]

C．[－2，]

D．[－，]参考答案：Dcos2α＋cos2β又sinα＋cosβ＝，∴cosβ=易得：∴=sinα，∴[－，].故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为

参考答案：12.已知为正实数，且则的最小值为

．参考答案：213.观察下列等式：可以推测：___________(，用含有n的代数式表示)参考答案：14.已知向量，若向量与共线，则向量在向量放心上的投影为

．参考答案：015.设，，，则a，b，c三数的大小顺序是_____．参考答案：【分析】根据幂函数的单调性可得；根据三角函数的单调性可得；根据对数函数单调性可得，综合可得结果.【详解】，即：，即：，即：本题正确结果：

16.设是两个集合，定义集合，若，，则

。参考答案：答案：17.直线

(t为参数)上到点A（1，2）的距离为4的点的坐标为___________．参考答案：【知识点】直线的参数方程N3或．解析：点为直线上的点，解得或，故P或.【思路点拨】由两点间距离公式直接求解即可.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且（1）证明：无论入取何值，总有AM⊥PN；（2）当入取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值。（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o，若存在，试确定点P的位置，若不存在，说明理由。参考答案：解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，0，1），M（0，1，），N（，0），，（1）∵，∴∴无论取何值，AM⊥PN.........4分（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。∴sinθ=|cos<|=∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2当＝时，θ取得最大值，此时tanθ=2..........8分（3）设存在，，设是平面PMN的一个法向量。则得令x=3，得y=1+2,z=2-2∴..........10分∴|cos<>|=化简得4∵△＝100-4413＝-108<0∴方程（*）无解∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o.........12分略19.长方体中，，，是底面对角线的交点。(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求三棱锥的体积。参考答案：(Ⅰ)证明：依题意：，且在平面外．……2分∴平面……………4分(Ⅱ)证明：连结∵

∴平面…………5分又∵在上，∴在平面上∴

∵∴∴

∴中，……

7分同理：

∵中，∴

∴平面……………10分(Ⅲ)解：∵平面∴……………12分…………14分略20.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，且b=，求a+c的值．参考答案：见解析【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，得到cosB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数求出sinB和cosB的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinB及已知的面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，再利用完全平方公式整理后，将b，ac及cosB的值代入，开方即可求出a+c的值．【解答】解：（1）又A+B+C=π，即C+B=π﹣A，∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，则B=；（2）∵△ABC的面积为，sinB=sin=，∴S=acsinB=ac=，∴ac=6，又b=，cosB=cos=，∴利用余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣18=3，∴（a+c）2=21，则a+c=．21.今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知条件能求出图中各组的纵坐标，由此能完成被调查人员的频率分布直方图．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，分别求出p（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．解答： 解：（Ⅰ）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．…所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．…∴被调查人员的频率分布直方图如右图：…（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3…p（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=?+?=，P（ξ=3）=?=，…∴ξ的分布列是：ξ0123P…∴ξ的数学期望Eξ=+1×+2×+3×=．…点评：本题考查频率直方图的作法，考查随机变量ξ的分布列和数学期望，是中档题