江苏省无锡市常州高级中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

江苏省无锡市常州高级中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明．【解答】解：①由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确．②设三棱柱的三个侧面分别为α，β，γ，其中两条侧棱为m，n，显然m∥n，但α与β不平行，故②错误．③∵α∥β∥γ，∴当m⊥α时，m⊥γ，故③正确．④当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误．故选：A．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．2.已知f(x)＝则不等式f(x)>2的解集为()A．(1,2)∪(3，＋∞)

B．(，＋∞)C．(1,2)∪(，＋∞)

D．(1,2)参考答案：C3.设△ABC的三个内角为A、B、C向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A．

B．C．

D．参考答案：C4.

参考答案：A5.设全集，，则右图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C．

D．参考答案：D6.若是(0+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】分别考虑，时，的导数，由导数小于等于0恒成立，可得a的范围；再由函数的连续性，可得，解不等式可得所求范围．【详解】解：当时，的导数为，由题意可得，即在恒成立，可得，由时，的导数为，由，解得或在恒成立，即有，由为上的减函数，可得，即为，可得由可得a的范围是．故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．7.下列命题是真命题的是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略8.曲线与直线围成的平面图形的面积为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下：由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.9.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：转化思想．分析：由等比数列的前n项和公式，故==1+q2，由此知，应该有方程8a2+a5=0求出q的值，再代入求值，选出正确选项解答：解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0∴8a1q+a1q4=0又数列是等比数列，首项不为0∴8q+q4=0，又q不为零，故有q=﹣2∴===5故选C点评：本题考查等比数列的性质，解题的关键是由8a2+a5=0求出公比q的值，再由等比数列的求和公式将用q表示出来，即可求出值，本题考查了转化的思想及计算能力，10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定参考答案：B【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状． 【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA， 即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形， 故选B． 【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读右面的程序框图，则输出的=

.参考答案：3012.不等式的解集为，则的取值范围是

。参考答案：13.在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则

参考答案：314.若正方体外接球的体积是，则正方体的棱长等于_______________．参考答案：15.已知一个关于的二元线性方程组的增广矩阵是，则=_____。参考答案：6略16.若直线ax＋y＋2＝0与直线x－y－2＝0平行，则实数a的值为_____________．参考答案：略17.已知正实数x，y满足xy=9，则x+9y取得最小值时x=，y=

．参考答案：9,1.【考点】基本不等式．【分析】由条件，运用基本不等式：a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），即可得到所求最小值时x，y的值．【解答】解：由正实数x，y满足xy=9，可得x+9y≥2=6=6×3=18，当且仅当x=9y，即x=9，y=1时，取得最小值18．故答案为：9，1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足2=+(n∈N*),它的前n项和为Sn，且a3=-6,S6=-30.求数列{an}的前n项和的最小值.参考答案：略19.求证：.参考答案：证明见解析【分析】利用分析法证明不等式；【详解】证明：要证，只要证，即证即证即证，即证，显然成立，故，得证【点睛】本题考查分析法证明不等式，属于基础题．

20.已知抛物线方程为y2=4x，直线L过定点P（﹣2，1），斜率为k，k为何值时，直线L与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出直线方程代入抛物线方程整理可得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0（*）（1）直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根（2）直线与抛物线有2个公共点?（*）有两个根（3）直线与抛物线没有一个公共点?（*）没有根【解答】解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，代入抛物线方程整理可得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0（*）（1）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根①k=0时，y=1符合题意；②k≠0时，△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，整理，得2k2+k﹣1=0，解得k=或k=﹣1．综上可得，k=或k=﹣1或k=0；（2）由（1）得2k2+k﹣1＜0且k≠0，∴﹣1＜k＜且k≠0；（3）由（1）得2k2+k﹣1＞0，∴k＞或k＜﹣1．21.闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区，该小镇有一块1800平方米的矩形地块，开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树，形成柳中观鱼特色景观。假设池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．

(1)试用x表示a及S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．参考答案：(1)由题图形知，3a＋6＝x，∴a＝.………2分则总面积S＝(－4)·a＋2a(－6)………4分＝a(－16)＝(－16)＝1832－(+)，即S＝1832－(+)(x＞0)．………6分（定义域没写扣一分）

(2)由S＝1832－(+)，得S≤1832－2………8分＝1832－2×240＝1352(平方米)．………9分当且仅当＝，此时，x＝45.………11分即当x为45米时，S最大，且S最大值为1352平方米．………12分22.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．参考答案：（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述20