全国卷Ⅰ2017年高考理科数学试题及答案(Word版)

全国卷Ⅰ2017年高考理科数学试题及答案(Word版)

1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，求A∩B和A∪B。A∩B={x|x<1,3x<1}={x|x<1/3}A∪B={x|x<1}∪{x|3x<1}={x|x<1/3}∪{x|x>1}={x|x<1/3orx>1}2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1/2。解析：由于黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分和白色部分的面积相等。因此，取点取自黑色部分的概率为1/2。3.判断下列命题的真假。p1：若复数z满足Im(z)=0，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1,z2满足z1z2∈R，则z1=z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为p1,p4。解析：p1显然成立，因为实数的虚部为0；p2不成立，例如z=i；p3不成立，例如z1=1，z2=i；p4显然成立，因为实数属于实数集合。4.等差数列{an}的前6项和为48，且a4+a5=24，求{an}的公差。设首项为a1，公差为d，则有a4=a1+3d，a5=a1+4da4+a5=2a1+7d=24S6=3(2a1+5d)=48解得a1=4，d=4，因此{an}的公差为4。5.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减，且为奇函数。若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是[-1,1]。解析：由于f(x)为奇函数，且单调递减，所以f(x)在(-∞,-2)单调递增，在(-2,2)单调不降，在(2,+∞)单调递增。因此，当-1≤x-2≤1时，-1≤f(x-2)≤1成立，即-1≤x≤3，故满足条件的x的取值范围为[-1,1]。6.(1+x)6展开式中x2的系数为15。解析：根据二项式定理，(1+x)6展开式中x2的系数为C(6,2)=15。7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，上视图为正方形。该多面体的顶点数为5。解析：由正视图和左视图可知，该多面体由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，因此该多面体的面数为3。由上视图可知，该多面体的一个顶点位于正方形的中心，另外四个顶点分别位于正方形的四个顶点上，因此该多面体的顶点数为5。114.设$x,y$满足约束条件，则$z=3x-2y$的最小值为$\underline{15}$。16.如图，圆形纸片的圆心为$O$，半径为$5$cm，该纸片上的等边三角形$ABC$的中心为$O$。$D,E,F$为圆$O$上的点，$\triangleDBC,\triangleECA,\triangleFAB$分别是以$BC,CA,AB$为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以$BC,CA,AB$为折痕折起$\triangleDBC,\triangleECA,\triangleFAB$，使得$D,E,F$重合，得到三棱锥。当$\triangleABC$的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为$\underline{125\sqrt{2}}$。17.$\triangleABC$的内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，已知$\triangleABC$的面积为$\frac{3}{2}\sinA$。（1）求$\sinB\sinC$；（2）若$6\cosB\cosC=1,a=3$，求$\triangleABC$的周长。18.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$AB\parallelCD$，且$\angleBAP=\angleCDP=90^\circ$。（1）证明：平面$PAB\perp$平面$PAD$；（2）若$PA=PD=AB=DC,\angleAPD=90^\circ$，求二面角$A-PB-C$的余弦值。19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取$16$个零件，并测量其尺寸（单位：cm）。根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$。（1）假设生产状态正常，记$X$表示一天内抽取的$16$个零件中其尺寸在$(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$之外的零件数，求$P(X\geq1)$及$X$的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在$(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ii）下面是检验员在一天内抽取的$16$个零件的尺寸：$$9.95\quad10.12\quad9.96\quad9.96\quad10.01\quad9.92\quad9.98\quad10.04$$$$10.26\quad9.91\quad10.13\quad10.03\quad9.22\quad10.04\quad10.05\quad9.95$$求该生产线当天的生产过程是否存在异常情况，需给出理由。9.97，s=0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,...,16。用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否用样本平均数x作为μ的估计值，剔除(μ-3σ^,μ+3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（需要对当天的生产过程进行检查）。附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ^2)，则P(μ-3σ^<Z<μ+3σ^)=0.9974，0.997416=0.9592，0.008≈0.09。20.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1（a>b>0），四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(-1,0)，P4(1,0)中恰有三点在椭圆C上。(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。21.已知函数f(x)=ae^(a-2x)。(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围。22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=3cosθ,y=sinθ}，直线l的参数方程为{x=a+4t,y=1-t}。(1)若a=-1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为17，求a。23.已知函数f(x)=-x+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|。(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范围。17.解：（1）根据题设，有$\frac{a}{\sinB}=\frac{2}{3\sinA}$，即$a=\frac{2\sinB}{3\sinA}$。代入正弦定理中，得到$\frac{\sinC}{\sinB}=\frac{2\sinB}{3\sinA}\cdot\frac{1}{23\sinA/2}$，化简得到$\sinB\sinC=\frac{4}{69}$。由正弦定理，有$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，代入$\sinB\sinC=\frac{4}{69}$，得到$\frac{b}{c}=\frac{\sinB}{\sinC}=\frac{4}{23}$。再代入正弦定理，得到$b+c-8=9$，即$b+c=17$。因此，$\triangleABC$的周长为$3+17=20$。（2）根据题设和（1）可得$\frac{a}{2\sinA}=\frac{b}{2\sinB}=\frac{c}{2\sinC}=R$，其中$R$为$\triangleABC$的外接圆半径。代入余弦定理中，得到$\cosB\cosC-\sinB\sinC=-\frac{a^2}{4R^2}$。又因为$\cos(B+C)=-\cosA=-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，代入$\cosB\cosC-\sinB\sinC=-\frac{a^2}{4R^2}$，化简得到$\cos(B+C)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{1}{2}$。因此，$B+C=\frac{\pi}{2}$，即$A=\frac{\pi}{3}$。18.解：（1）根据题设，$\angleBAP=\angleCDP=90^\circ$，因此$AB\perpAP$，$CD\perpPD$。又因为$AB\parallelCD$，所以$AB\perpPD$，即$AB\perp$平面$PAD$。又因为$AB\subset$平面$PAB$，所以平面$PAB\perp$平面$PAD$。（2）在平面$PAD$内作$PF\perpAD$，垂足为$F$。由（1）可知，$AB\perp$平面$PAD$，因此$AB\perpPF$，得到$PF\perp$平面$ABCD$。以$F$为坐标原点，$FA$的方向为$x$轴正方向，$|AB|$为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系$F$-$xyz$。由（1）和已知可得$A(2,2,2)$，$P(0,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(-2,2,-2)$。因此，$PC=(-2,1,-2)$，$CB=(2,-1,0)$，$PA=(2,0,-2)$，$AB=(0,1,0)$。设$n=(x,y,z)$是平面$PCB$的法向量，则$n\cdotPC=0$，即$x+y-z=0$。又因为$n\perpAB$，所以$n\cdotCB=0$，即$2x-y=0$。因此，可取$n=(0,-1,-2)$。设$m=(x,y,z)$是平面$PAB$的法向量，则$m\cdotPA=x-z=0$。又因为$m\perpAB$，所以$m\cdotAB=0$，即$y=0$。因此，可取$m=(1,0,1)$。则$\cos\angle(n,m)=\frac{n\cdotm}{|n||m|}=-\frac{1}{3}$。因此，二面角$APBPC$的余弦值为$-\cos\angle(n,m)=\frac{1}{3}$。19.【解】（1）根据题意，零件的尺寸在$(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$之内的概率为$0.9974$，因此零件的尺寸在$(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$之外的概率为$0.0026$。所以$X\simB(16,0.0026)$。因此，$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0.9974=0.0026$。（2）$X$的数学期望为$E(X)=np=16\times0.0026=0.0416$。2=2t，k1k2=2t2.由于A，B在l上，故有y1=kx1m，y2=kx2m，代入x1+x2=2，x1x2=2可得x1，x2=1t2，1t2.代入y1=kx1m，y2=kx2m，得y1，y2=kmt2，kmt2.由于A，B在圆上，代入y21得(km)2t4(km)2t4=1，即(k2m2)t4=1.又因为t0，故k2m2=1.由于k1，k2满足条件k1k2=2t，k1k2=2t2，代入可得k1，k2=t2±2t21.由于k1，k2的值不同，故可以分别代入上面的方程中求解m1，m2，再代入y=kxm得到直线的方程.2.解析式的排版有误，应该为：1/x1+1/x2=kx1x2/(x1+x2)=(m-1)/k将k1+k2=-1代入得：(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=4m^2-4-8km化简得：(2k+1)^2+(m-1)^2=(4k+1)^2/(m+1)^2解得k=-1/2，当且仅当m>-1时，上式成立。此时直线l过定点(2,-1)。3.解析式的排版有误，应该为：x^2/a^2+y^2/a^2=1(1)若a<=1，则f'(x)<0，因此f(x)在(-∞,+∞)单调递减。(2)若a>1，则f'(x)=0的解为x=-lna。当x<-lna时，f'(x)<0；当x>-lna时，f'(x)>0，因此f(x)在(-∞,-lna)单调递减，在(-lna,+∞)单调递增。当a=1时，f(x)只有一个零点；当a>1时，f(x)在(-∞,-lna)有一个零点；当0<a<1时，f(x)没有零点。4.无明显问题的段落，不需要改写。直线l的普通方程为$x+4y-a-4=0$，故点$C(3\cos\theta,\sin\theta)$到l的距离为$d=\frac{|3\cos\theta+4\sin\theta-a-4|}{\sqrt{17}}$。当$a\geq-4$时，$d$的最大值为$\frac{a+9