初二数学-勾股定理讲义经典

【知识点归纳】第一章勾股定理、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理,勾股定理,、求直角三角形周长、面积等问题、验证勾股定理成立、勾股数的应用勾股定理,勾股定理,勾股定理的逆定理,2判断三角形的形状、求最大、最小角的问题€1、面积问题2、求长度问题勾股定理的应用,4、5、6、3、最短距离问题航海问题网格问题图形问题考点一：勾股定理()对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为、，斜边为，那么一定有勾股定理的应用,4、5、6、()结论：有一个角是°的直角三角形，°角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是°的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。()勾股定理的验证

例题:例：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。()在△若()在△若若若若：中,Z9，则，则6则:4则△ 的面积是TOC\o"1-5"\h\z()如果直角三角形的两直角边长分别为n2€1, (),那么它的斜边长是( )、n2+1()在△ 中，为三边长，则下列关系中正确的是( )a2+b2，c2a2+C2，b2c2+b2，a2以上都有可能()已知一个直角三角形的两边长分别为和4则第三边长的平方是( )A BC D或TOC\o"1-5"\h\z例：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。()直角三角形两直角边长分别为和，则它斜边上的高为 _()已知△中，Z9,若 ， ，贝V△的面积是()、 cm2b cm2 、 cm2 、 cm2TOC\o"1-5"\h\z()已知、为正数，且丨丨(3 ,如果以、的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )、、、、例：探索勾股定理的证明有四个斜边为、两直角边长为 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。考点二：勾股定理的逆定理（）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 有关系，a2+b2€c2，那么这个三角形是直角三角形。（）常见的勾股数：（ n（为正整数）（）直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长 有关系，a2+b2€c2，那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1勾股数的应用TOC\o"1-5"\h\z（）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）， 4 ， 3 ， ， ， 5（）若线段a,组成直角三角形，则它们的比为（ ）••••••••、・・ 、・・ 、・・ 、・・例：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（）下面的三角形中：①厶中，zz-zB②厶中，z：z：z③厶中，：： ：：厶中，三边长分别为其中是直角三角形的个数有（).若三角形的三边之比为迟2其中是直角三角形的个数有（).若三角形的三边之比为迟2•护，则这个三角形一定是（）等腰三角形直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形不等边三角形等腰直角三角形不等边三角形三边，且满足二三边，且满足二0则它的形状为（ ）直角三角形等腰三角形直角三角形等腰三角形等腰直角三角形等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形等腰三角形或直角三角形将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数得到的三角形是•钝角三角形锐角三角形直角三角形•钝角三角形锐角三角形直角三角形等腰三角形（）若厶 的三边长满足a2€b2€c2€200二12a€16b€20c,试判断△ 的形状。（）若厶 的三边长TOC\o"1-5"\h\z（）△的两边分别为 ，另一边为奇数，且是的倍数，则应为 ,此三角形为 。例：求最大、最小角的问题（）若三角形三条边的长分别是 4则这个三角形的最大内角是 度。（）已知三角形三边的比为:長:2则其最小角为 得考点三：勾股定理的应用例题：例：面积问题（）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、、的边长分别是、5、：则最大正方形的面积是（得（图）（图）()如图，△为直角三角形，分别以，， 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得( )以上都不是()如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是、、，则它们之间的关系是( )例：求长度问题()小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。()在一棵树高的处，有两只猴子，一只爬下树走到离树处的池塘处；另外一只爬到树顶处后直接跃到夕卜，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例：最短路程问题()如图，已知圆柱体底面圆的半径为-，高为，，分别是两底面的直径，， 是母线，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是 (结果保留根式)(图)

()如图，有一个长、宽、高为米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。(图)例：航海问题()一轮船以海里时的速度从港向东北方向航行，另一艘船同时以海里时的速度从港向西北方向航行，经过 小时后，它们相距 海里.()如图，某货船以海里/时的速度将一批重要物资从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东°的方向上。该货船航行分钟到达处，此时又测得该岛在北偏东°的方向上，已知在岛周围海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。的处有一台风中心，沿()如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以 的速度向移动，已知城市到的距离 ，那么台风中心经过多长时间从点移到点？如果在距台风中心 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

例：网格问题（）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1则网格上的三角形中，边长为无理数的边数是（）（）如图，正方形网格中的△ ,若小方格边长为，则△是（）直角三角形 锐角三角形 钝角三角形以上答案都不对（）如图，小方格都是边长为的正方形则四边形 的面积是\\例：图形问题四川宜宾）如图2已知，在四川宜宾）如图2已知，在△中,z长为 （图）（图）（）某公司的大门如图所示其中四边形（）某公司的大门如图所示其中四边形ABCD是长方形上部是以AD为直径的半圆其中ABm，BCm现有一辆装满货物的卡车高为m宽为m问这辆卡车能否通过公司的大门并说明你的理由（）将一根长cm的筷子置于地面直径为cm,

面的长为cm,则的取值范围 。（）将一根长cm的筷子置于地面直径为cm,

面的长为cm,则的取值范围 。【培优提高】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边=现将△折叠，使点与点重合，折痕为高为 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为、，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别使三角形为钝角三角形且面积为罷、込（在图甲中画一个即可）;（在图乙中画一个即可）..在厶中，，A锐角三角形c钝角三角形.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ），则该三角形为（ ）.直角三角形.等腰直角三角形

已知△是边长为的等腰直角三角形，以△的斜边为直角边，画第二个等腰△,再以△的斜边为直角边，画第三个等腰△,…，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是 .如图，每个小正方形的边长为，€ABC的三边a,b,c的大小关系式：（）a<c<b （）a<b<c（）c<a<b （）c<b<a•（本题满分分）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你根