命题及其关系充要条件

1.2

命题及其关系、充要条件-2-考纲要求:1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.1.命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题,其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系-3--4-(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题等价

(同真

或同假

).②互逆或互否的两个命题不等价

.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念-5-4.常用结论在四种形式的命题中,真命题的个数只能是0或2或4.p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.其他情况依此类推.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件⇔A⫋B;p是q的必要不充分条件⇔A⫌B;p是q的充要条件⇔A=B.-6-1

2

3

4

51.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.x2-3x+2≤0”.

(

)数学中的命题都可以判断真假.

(

√

)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆否命题是“若1≤x≤2,则√若命题“若p,则q”为真命题,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.

(

√

)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.

(

√

)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.

(

×

)-7-1

2

3

4

52.

“x=1”是“x2-2x+1=0”的(

)A.充要条件C.必要而不充分条件B.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件关闭当x=1时,x2-2x+1=12-2×1+1=0;当x2-2x+1=0时,有(x-1)2=0,即x=1,故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.关闭解析答案A-8-1

2

3

4

53.(2015陕西渭南模拟)对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列叙述正确的是(

)A.逆命题“周期函数不是单调函数”B.否命题“单调函数是周期函数”

C.逆否命题“周期函数是单调函数”D.命题的否定“存在单调函数是周期函数”关闭由逆命题、否命题、逆否命题的定义知A,B,C错.关闭解析答案D-9-1

2

3

4

54.“sin

α=sin

β”是“α=β”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件关闭关闭解析答案B-10-1

2

3

4

55.“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的

条件.关闭x=a⇒(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立.因此,“(x-a)·(x-b)=0”是“x=a”的必要不充分条件.关闭解析答案必要不充分-11-1

2

3

4

5自测点评“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,命题的否定只否定结论.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且q

p”;“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且p

q”.-12-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混考点1命题及其相互关系

例1已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是(

)否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题关闭由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f'(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1.∴命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.答案解析关闭D-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:由原命题写出其他三种命题应注意什么?解题心得:1.在判断四种命题的关系时,首先要分清命题的条件与结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种命题;当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保持不变.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出反例.当一个命题直接判断不易时,可转化为判断其等价命题的真假.-14-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混关闭原命题为真命题,则其逆否命题为真命题.关闭解析答案D对点训练1

关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠⌀”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是(

)A.都真C.否命题真B.都假D.逆否命题真-15-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混考点2充分条件、必要条件的判断

例2(1)(2015合肥模拟)“a>1”是“函数f(x)=x3+a在R上为单调递增函数”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件关闭因为a无论取何值,函数f(x)=x3+a在R上为单调递增函数,所以“a>1”是“函数f(x)=x3+a在R上为单调递增函数”的充分不必要条件.关闭解析答案A-16-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混(2)给定两个命题p,q.若

p是q的必要而不充分条件,则p是

q的(

)A.充分不必要条件

C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件关闭关闭解析答案A-17-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:充分条件、必要条件的判断有哪几种方法?解题心得:充要条件的三种判断方法:定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.-18-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混对点训练

2

(2015

重庆,理

4)“x>1”是“log1(x+2)<0”的2(

)A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件由

lo

1(x+2)<02所以“x>1”是“lo可得x+2>1,即x>-1,而{x|x>1}1(x+2)<0”的充分不必要条件.2{x|x>-1},关闭B关闭解析答案-19-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混考点3充分条件、必要条件的应用

条件是(

)例3(1)函数f(x)=൜log2

𝑥,𝑥>0,有且只有一个零点的充分不必要2𝑥

-𝑎,𝑥

≤

0A.a≤0或a>1B.0<a<

121C.

2

<a<1

D.a<0关闭因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=2x-a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.即充要条件为a≤0或a>1,使“a≤0或a>1”成立的充分不必要条件为选项D.关闭解析答案D-20-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混(2)设条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是

.关闭由2x2-3x+1≤0

得1≤x≤1,由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0

得a≤x≤a+1.2由p

是q

的必要不充分条件知,p

是q

的充分不必要条件,21则有ቄ𝑥

ቚ1

≤

𝑥

≤

1ቅ⫋

{x|a≤x≤a+1},所以ቊ𝑎

≤

2

,𝑎

+

1

≥

1,且等号不同时1成立,解得0≤a≤.2关闭解析答案2ቂ0,

1ቃ-21-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:如何求与充要条件有关的参数问题?如何证明一个论断是另一个论断的充要条件?解题心得:1.与充要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.-22-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混对点训练3

(1)若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B≠⌀”的充要条件是(

)A.a>-2

B.a≤-2

C.a>-1 D.a≥-1关闭关闭解析答案C-23-考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混(2)若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值为

.关闭由x2>1得x>1或x<-1.由题意知{x|x<a}⫋{x|x>1或x<-1},所以a≤-1,从而a的最大值为-1.关闭解析答案-1-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定.充要关系的几种判断方法:定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.等价法:利用A⇒B与

B⇒

A;B⇒A与

A⇒

B;A⇔B与

B⇔

A的等价关系.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.集合间关系法:设A={x|p(x)},B={x|q(x)},利用集合A,B的关系来判断.-25-考点1考点2考点3知识方法易错易混当一个命题有大前提时,要写出其他三种命题,必须保留大前提,也就是大前提不动.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.-26-思想方法——等价转化思想在充要条件中的应用等价转化是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已有知识范围内可解”的求解策略,本节内容蕴含着丰富的等价转化思想,对于一个难以入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等价命题,每一个等价命题都能提供一个解题思路.因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是等价转化的前提,同时也是灵活解题的基础.-27-𝑥-1典例已知p:

ቤ1-

3

ቤ

≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且

p是

q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.分析:先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q间的关系列出关于m的不等式或不等式组得出结论.解:(方法一)由q:x2-2x+1-m2≤0,m>