辽宁省沈阳市第六十高级中学2021年高三数学理月考试卷含解析

辽宁省沈阳市第六十高级中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要参考答案：B【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由“2a＞2b”得a＞b，由“log2a＞log2b”得a＞b＞0，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数不等式和对数不等式的性质是解决本题的关键．2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=（） A．2 B． C． D． 3参考答案：C略3.如果A=，那么

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知集合A={x||2x+1|＞3}，集合，则A∩（?RB）=(

) A．（1，2） B．（1，2] C．（1，+∞） D．参考答案：B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答： 解：由A中的不等式变形得：2x+1＞3或2x+1＜﹣3，解得：x＞1或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），由B中y=，得到≥0，即或，解得：x＞2或x≤﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），∵全集为R，∴?RB=（﹣1，2]，则A∩（?RB）=（1，2]．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5.若复数满足，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C6.设集合，如果方程至少有一个根，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为（

）

参考答案：C7.已知i是虚数单位，若，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：D由题意，所以.故选D.

8.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6 B． C． D．2参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．【解答】解：由题意，==∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b=，故选：C．【点评】本题以复数为载体，考查复数的化简，考查复数的基本概念，属于基础题．9.已知f（x）=ex﹣x，命题p：?x∈R，f（x）＞（0），则（）A．p是真命题，￢p：?x0∈R，f（x0）＜0 B．p是真命题，￢p：?x0∈R，f（x0）≤0C．p是假命题，￢p：?x0∈R，f（x0）＜0 D．p是假命题，￢p：?x0∈R，f（x0）≤0参考答案：B考点：命题的否定；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：f（x）=ex﹣x，命题p：?x∈R，f（x）＞（0），是真命题，它的否定是：?x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查．10.函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为(

)A．10 B．5 C．﹣1 D．参考答案：D【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，又f（1）=10，故切点坐标（1，10），∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣，切线在x轴上的截距为﹣，故选D．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.=

.参考答案：略12.不等式的解集为

．参考答案：13..若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是

.参考答案：由，得，当，得，由图象可知，要使函数有三个不同的零点，则有，即，所以实数的取值范围是。14.函数的反函数是________参考答案：.【分析】由解出，可得出所求函数的反函数.【详解】由，得，则有，，因此，函数的反函数为，故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.15.设全集，集合，，则集合为

．参考答案：{2}16.已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为___________.参考答案：17.已知函数的反函数为，则_____.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，。（1）求A；（2）若△ABC的面积，，求的值。参考答案：（Ⅰ）由及正弦定理得因为所以由于，所以.又,故（5分）-(Ⅱ)由，得又知由余弦定理得故.又由正弦定理得（12分）19.

一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表：学生数学8991939597物理8789899293(Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．参考答案：解：（I)5名学生数学成绩的平均分为:

5名学生数学成绩的方差为:

5名学生物理成绩的平均分为:

5名学生物理成绩的方差为:

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.

(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A5名学生中选2人包含基本事件有：

共10个.

事件A包含基本事件有：共7个.

所以，5名学生中选2人,选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为.

略20.（本小题满分16分）已知函数（1）

求函数在点处的切线方程；（2）

求函数单调区间；（3）

若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.参考答案：⑴因为函数，所以，，…………2分又因为，所以函数在点处的切线方程为．…………4分⑵由⑴，．因为当时，总有在上是增函数，………………8分又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为．………………10分⑶因为存在，使得成立，而当时，，所以只要即可．……………12分又因为，，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．因为，令，因为，所以在上是增函数．而，故当时，，即；当时，，即．………14分所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．综上可知，所求的取值范围为．………………16分略21.某校理科实验班的100名学生期2015届中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：分组区间[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）x：y1：22：13：41：1（Ⅰ）估计这100名学生数学成绩的中位数；（Ⅱ）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X，求X的数学期望EX．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比，即可估计这100名学生数学成绩的中位数；（Ⅱ）根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，求出X的分布列与数学期望即可．解答： 解：（I）∵，0.7﹣0.5=0.2，∴这100名学生数学成绩的中位数是；…（II）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为∴数学成绩在[140，150]的人数为100﹣90=10人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.2×100=20人，X可取0，1，2，，，，X分布列X012P∴．…点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．22.已知函数f（x）=ax2﹣lnx，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）当x∈（0，+∞）时，求证：e2x3﹣2x＞2（x+1）lnx．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求出单调区间，求得最小值，解方程可得a的值；（3）由（2）得当x＞0时，e2x2﹣lnx≥，可令g（x）=+1，求出导数，单调区间，可得最大值，即可得证．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx的导数为f′（x）=2x﹣，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2﹣1=1，切点为（1，1），可得切线方程为y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0；（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数为f′（x）=，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数，