第五讲乘法公式飞

第五讲 乘法公式上海市陆行中学北校 雷显飞乘法公式平方差公式完全平方公式【知识框架】1.公式的导出我们可以根据多项式乘法法则计算下列各式：【知识要点】2

2可知：(a

+b)(a

-b)=a2

-b2(a

+b)2

=a2

+2ab

+b2(a

-b)2

=a2

-2ab

+b2我们把它们作为公式，就可以使一些特殊多项式的乘法运算得到简化，也就是直接利用公式写出结果，而不必再去重复上述中间运算的步骤.(a

+

b)2=

(a

+

b)(a

+

b)=

a2

+

ab

+

ab

+

b2=

a2

+

2ab

+

b2

.(a

-

b)2=

(a

-

b)(a

-

b)=

a2

-

ab

-

ab

+

b2=

a2

-

2ab

+

b2

.(a

+

b)(a

-

b)=

a2

-

ab

+

ab

-

b2=

a

-

b

.平方差公式文字表述：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差.符号表述：(a

+

b)(a

-

b)

=

a2

-

b2公式特征：等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项相同，另一项互为相反数；等号右边是相同数的平方减去相反数的平方；公式中的a

、b

可以是任意的数或代数式.完全平方公式文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍.符号表述：(a

+

b)2

=

a2

+

2ab

+

b2

，(a

-

b)2

=

a2

-

2ab

+

b2公式特征：等号左边是两数和（或差）的平方.等号右边是二次三项式，其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，其符号由左边括号内的符号决定，可以用口诀表述为：首平方，尾平方，两倍首尾乘积放中央.公式中的a

、b

可以是任意的数或代数式.【典型例题】（一）基础题例1

下列两个多项式相乘，能用平方差公式计算的是

（1）（2）（4）（5）

，不能用平方差公式计算的是

（3）（6）

.（1）(3a

+

2b)(3a

-

2b)；

（2）(3a

+

2b)(-3a

+

2b)；（3）(-3a

+

2b)(a

-

2b)

；（4）(-3a

+

2b)(-3a

-

2b)；（5）(-3a

-

2b)(3a

-

2b)；（6）(3a

+

2b)(-3a

-

2b)

.分析相乘的两个二项式中，如果有一项相同，而另一项互为相反数，就能运用平方差公式计算.

3

3 (2

y(3a2b-

3a2b)例2计算下列各题：（2）（1

+

2

x2

)）(-2

y解9-

5)(-52

2

22=

(

x

)

-

(2

y)3运用平方差公式相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.+

2

x2

)；.=

4

x4

-

4

y2

.3

3原式=(2

x2

-2

y)(2

x2

+2

y)原式=(-5

+3a2b)(-5

-3a2b)=

(-5)2

-

(3a2b)2=

25

-

9a4b2.一般把相同项写在前面，相反项写在后面.解例2计算下列各题：（1）(-2

y

+

2

x2

)(2

y

+

2

x2

)；3

3（2）(3a2b

-

5)(-5

-

3a2b).小结（1）对于两个二项式相乘，应先观察是否符合平方差公式的结构特征，如果符合，运用平方差公式就能起到简化计算的作用.（2）为提高计算的准确性，同学们应把解题过程写完整，不要跳步.(

x

-

y)2

=

x2

-

2xy

-

y2例3判断下面的计算对不对？若不对，请在横线上改正.（4）（1）(a

+

b)2

=

a2

+

b2（（2）(a

+

2b)2

=

a2

+

2ab

+

4b2（（

））(a

+

b)2

=

a2

+

2ab

+

b222

2(

x

-

y)

=

x

-

2

xy

+

y.）(a

+

2b)2

=

a2

+

4ab

+

4b2

.）(-5

x

-

3)2

=

25

x2

+

30

x

+

9

..分析上面的几个式子左边表示的是两数和（或差）的平方，因而都可以使用完全平方公式进行计算，注意计算的结果是一个二次三项式，要按照公式的特点，写出各项.（3）(-5

x

-

3)2

=

-25

x2

-

30

x

-

9（(-5

x

-

3)2

=

(5

x

+

3)2小结在使用完全平方公式进行计算时，容易犯的错误是漏中间项、中间项漏乘了2、符号出错等等，初学时可以采用口诀式表述：首平方，尾平方，两倍首尾乘积放中央，按照公式写出各项后，再进行计算，避免漏项、符号错误等问题.(a

+

2b)2

=

a2

+

2ab

+

4b2例3判断下面的计算对不对？若不对，请在横线上改正.（2）4（）(

x

-

y)2

=

x2

-

2xy

-

y2（（（

）（1）

(a

+

b)2

=

a2

+

b2

）(a

+

b)2

=

a2

+

2ab

+

b2）(a

+

2b)2

=

a2

+

4ab

+

4b222

2(

x

-

y)

=

x

-

2

xy

+

y..）(-5

x

-

3)2

=

25

x2

+

30

x

+

9

..（3）(-5

x

-

3)2

=

-25

x2

-

30

x

-

9（(-5

x

-

3)2

=

(5

x

+

3)23

4例4

计算下列各题：解（1）原式=2(-a

-

b)2

=

(a

+

b)24=

9a2

-

3ab

+2

21=

(3a)2

-

2

3a

1

b

+

(

1

b)22(3a

-

1

b)22

22232

3

3

3

4

4

2x

b

+

(

b

)=

(

x)

+

22

33

4（2）原式=(b2

)2x

+（1）(-3a

+

1

b)2

；（2）(-

2

x

-

3

b2

)2

.b2

.=

4

x2

+

xb2

+

9

b4

.9

16(-a

+

b)2

=

(b

-

a)2

=

(a

-

b)2括号内各项同时变为原来的相反数.首平方，尾平方，两倍首尾乘积放中央.小结在运用完全平方公式时，如果底数的二项式的首项系数为负，可以考虑利用乘方运算的性质或加法交换律等，将其变形为首项系数为正的形式，再利用公式.这样可以提高计算的准确性，在计算过程中，还要注意避免系数、指数出错.2例4

计算下列各题：(-a

+

b)2

=

(b

-

a)2

=

(a

-

b)23

4(-a

-

b)2

=

(a

+

b)2（1）(-3a

+

1

b)2

；（2）(-

2

x

-

3

b2

)2

.例5

（1）解方程：(2x

-

1)2-

4(

x

+

1)(

x

-

1)

=

9；-

4

x

=

4

.\

x

=

-1.完全平方公式平方差公式解(4x2

-4x

+1)-4(x2

-1)=9.(4x2

-

4x

+1)

-

(4x2

-

4)

=

9

.4x2

-

4x

+1

-

4x2

+

4

=

9.一元一次方程解13\

y

<

11.2(

y2

-

4

y

+

4)

>

2

y2

+

6

y

-

y

-

3

.2

y2

-

8

y

+

8

>

2

y2

+

5

y

-

3

.-

13

y

>

-11.(

y

-

2)2例5

（2）解不等式：2

>

(2

y

-

1)(

y

+

3)

.完全平方公式多项式的乘法法则一元一次不等式不等式的两边同时除以一个负数，要改变不等号的方向.小结

本例中的方程（不等式）形式上不是一元一次方程（不等式），但通过整式乘法运算，合并同类项后，却是一元一次方程（不等式）.所以判断一个方程（不等式）是不是一元一次方程（不等式），不能从形式上去判断.例5

（1）解方程：(2x

-1)2

-4(x

+1)(x

-1)=9；（2）解不等式：2(y

-2)2>

(2

y

-

1)(

y

+

3)

.=

16m4

-

8m2n2

+

n4解=

(4m2

-

n2

)2原式=(2m

-n)(2m

+n)(4m2

-n2

)=

(4m2

-

n2

)(4m2

-

n2

).（二）提高题例6

计算下列各题：（1）(2m

-

n)(4m2

-

n2

)(

2m

+

n)

；平方差公式乘方的意义完全平方公式交换律变式

将上题改为(2m

-

n)(4m2

+

n2

)(2m

+

n)如何计算？解原式=(2m

-n)(2m

+n)(4m2

+n2

)=

(4m2

-

n2

)(4m2

+

n2

)=

(4m2

)2

-

(n2

)2=

16m4

-

n4

.3b-

3b+

c-

c)a-

(3b

-

c

)=

(2a)2

-

(3b

-

c)2=

4a2

-(9b2

-

6bc

+

c2

)=

4a2

-

9b2

+

6bc

-

c2

.例6

计算下列各题：（2）(2a

+

(2a)；-

3b

+

c)分析本题中两个三项式相乘，若直接用多项式的乘法法则计算较繁，注意到两个三项式中，有的项相同，有的项互为相反数，因此也可以利用平方差公式计算，方法是：把符号相同的项移到前面，符号不同的项移到后面，这样就符合平方差公式的特征，然后运用平方差公式计算.解原式=(2a

+3b

-c)(2a=

[2a

+

(3b

-

c

)][

2

]不要漏括号例6

计算下列各题：（3）(3x+

2)2

(3x

-

2)2

；分析本题含有乘方运算，还有乘法运算，因此，可以先乘方后乘法；观察发现两个底数相乘符合平方差公式的特征，故此题也可以先乘法，就是积的乘方(ab)2

=a2b2

逆运用，再乘方，我们把两种方法分别计算如下：解一原式=(9

x2

+12x

+4)(9

x2

-12x

+4)=

[(9

x2

+

4)

+

12x][(

9

x2

+

4)

-

12x]=

(9

x2

+

4)2

-

(12x)2=

81x4

+

72x2

+

16

-

144

x2=

81x4

-

72x2

+

16

.解二原式=[(3

x

+2)(3

x

-2)]2=

(9

x2

-

4)2=

81x4

-

72x2

+

16

.计算时首先必须认识有哪些运算，然后确定解题途径；其次必须观

察题目特点，确定最优途径.例6

计算下列各题：（4）(a

+

3b

-

2c)2

.解

原式=

[(a

+

3b)

-

2c]2=

(a

+

3b)2

-

2 (a

+

3b) 2c

+

(2c)2=

a2

+

6ab

+

9b2

-

4ac

-12bc

+

4c2

.思考同学们想一想，把a

-2c

或3b

-2c看成一个整体行吗？请同学们课后试一试.小结把平方差公式和完全平方公式、幂的运算性质等几个公式结合使用的计算题，是一个难点，为了解决这个问题，一方面要准确地掌握公式的结构特征、正确的选择公式；另一方面要合理选择运算的顺序.如果算式中出现多于两项的多项式，还要考虑通过整体思想的运用，转化为符合乘法公式的形式，可以为解题带来方便.整体思想是贯穿中学数学始终的一个重要思想，要好好理解并掌握.2

2

22其中a

=-2，b

=-3

.例7

先化简，再求值：[(a

+

1

b)2

+

(a

-

1

b)2

](2a2

-

1

b2

)解原式=[(a2

+ab

+1

b2

)+(a2

-ab

+1

b2

)](2a2

-1

b2

)4

4

2=

(2a2

+

1

b2

)(2a2

-

1

b2

)=

4a4

-

1

b44.31当a

=-2，b

=-2时，原式=

4

·

(-2)4

- ·

(-

2)44

3=

64

-

4

=

63

77

.81

81

2

2

本题如果没有化简的要求，一般也先化简再求值，这样要简洁.解到

，然后代入已知条件的值就能计算结果了.a2

+

b2

=

(a

+

b)2

-

2ab

(a

+

b)2

=

a2

+

2ab

+

b2

，\

a2

+

b2

=

(a

+

b)2

-

2ab

.

a

+

b

=

5，ab

=

3

，\

a2

+

b2

=

52

-

2

·

3=

19

.例8

（1）已知a

+b

=5，ab

=3

，求a2

+b2

的值；分析

本题考查的是对乘法公式的变形.题目的结论中含有

a2

+

b2，条件中含有a+b，ab这样的式子，自然联想到公式(a

+

b)2

=

a2

+

2ab

+

b2

，把它经过变形可以得

(

x

-

y)2

=

3由①－②可得①②解xy

=

1

.例8（2）已知(x

+y)2

=7，(x

-y)2

=3

，求x2

+y2，xy

的值；分析两个条件式的左边是二项式的平方，可以考虑运用完全平方公式将它们展开，而这两个展开式中均含有

和xy，它们刚和xy的二元一次方程组，再解方程组就可以了，而不需要单独求出x和y的值.x2

+

y2(

x

+

y)2

=

7

，

\

x2

+

2xy

+

y2

=

7，

\

x2

-

2xy

+

y2

=

3由①＋②可得

x2

+

y2

=

5

，好就是结论中两个待求的式子，所以再将这两个式子x2

+y2

和xy分别看成整体，那么就得到关于x2

+y2aa2的值.例8

（3）已知a

-1

=2

，求a2

+1a2a

aa2aaa2解

(a

-

1

)2

=

a2

-

2

a

1

+

1

，\

a2

+

1

=

(a

-

1

)2

+

2

.a2a\

(a

-

1

)2

=

a2

-

2

+

1

，

a

-

1

=

2

，\

a2

+

1

=

22

+

2

=

6

.a2a

a(a

+

1

)2

=

a2

+

2

a

1

+

1a2a

a(a

-

1

)2

=

a2

-

2

a

1

+

1aa2a2

+

1

=

(a

+

1

)2

-

2a2

+

1

=

(a

-

1

)2

+

2a2

aaa

1

=

1（2）乘法公式有一些常见的恒等变形，同学们要有所了解，更重要的是要有变形的意识，善于把复杂的计算转化为能运用乘法公式的形式，现在把主要的公式变形列举如下：；；③；

④等.a2

+b2

，ab等式子时，可以通过将乘法公式进行适当地恒等变形，建立结论式和条件式之间的有机联系，从而达到解题之目的.小结（1）如果题目的条件、结论中含有a+b，a-b，(a

+b)2，(a

-b)2

，①

a2

+

b2

=

(a

+

b)2

-

2ab

=

(a

-

b)2

+

2ab②

(a

+

b)2

=

(a

-

b)2

+

4ab(a

-

b)2

=

(a

+

b)2

-

4ab4(a

+

b)2

-

(a

-

b)2ab

=4

4

2224可得(2

x

+1

)2

+(y

-1)2

=0.\

x2

y

=

(-

1

)2

=

1

.4

16解

4

x2

+

y2

+

2x

-

2

y

+

1

1

=

0，\

(4

x2

+

2x

+

1

)

+

(

y2

-

2

y

+1)

=

0

.\

x

=

-

1

，y

=

1

.\

2x

+

1

=

0

，y

-1

=

0

.例9

已知

4x2

+

y2

+

2x

-

2

y

+1

1

=

0

，求

x2

y

的值.41\+

y2

-

2

y4

x2

+

2x+1

=

0，4（三）拓展题又(2

x

+1

)2

‡0

，(y

-1)2

‡0，两个非负数的和为零，则它们同时为零.只有零的平方等于零.24

x

2

+

2

x

+

1

=

(2

x

+

1

)4

2y2

-

2

y

+

1

=

(

y

-

1)21

1

=

1

+

14

4一个数的平方是非负数.例10已知3(a2

+b2

+c2

)=(a

+b

+c)2，求证a

=b

=c

.b2