人教版初中数学九年级上册期末测试题2019-2020学年福建省南平市

2019-2020学年福建省南平市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答．题．卡．的相应位置填涂）1．（4分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）将抛物线y＝x2向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（）21A．y＝（x﹣2）1B．y＝（2﹣x﹣2）2+1C．y＝（x+2）﹣1D．y＝（x+2）+1223．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．乘坐公共汽车恰好有空座B．同位角相等C．打开手机就有未接电话D．三角形内角和等于180°4．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠BAC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．20°5．（4分）下列命题错误的是（）A．经过三个点一定可以作圆B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等6．（4分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）C．2D．2A．1B．第1页（共26页）7．（4分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．108．（4分）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题B．18C．20D．2280cm，宽为意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800B．（50+2x）（80+2x）＝2800D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28009．（4分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°10．（4分）已知二次函数y＝（+2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜nB．m＜p＜n＜qC．p＜m＜n＜qD．p＜m＜q＜nB．120°C．150°D．160°x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答．题．卡．的相应位置）211．（4分）已知x＝1是方程x﹣a＝0的根，则a＝．12．（4分）从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是．13．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则第2页（共26页）AE的长是．14．（4分）已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是．15．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则▱ABCD面积为．16．（4分）如图，△ABO为等边三角形，OA＝4，动点C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，点D为BC中点，连接AD，则线段AD长的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共86分．在答．题．卡．的相应位置作答）17．（8分）解方程：（1）x2＝9；（2）x2+3x﹣5＝0．18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．19．（8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：第3页（共26页）摸球的次数n10058150962001160.585002950.598004841000601摸到白球的次数m摸到白球的频率0.580.640.6050.601（1）请估计：当（2）试估算口袋中黑球有只，白球有只；（3）在（2）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是白球的概率．20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABO的顶点均在格点上，点A，B的坐A（2，2），B（1，3），把△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△ABO．（1）画出△ABO，直接写出点A，B1的坐标；n很大时，摸到白球的频率将会接近（结果精确到0.1）；标分别是11111（2）求在旋转过程中，△ABO所扫过的面积．21．（8分）商场服装柜在销售中发现：某牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，（1）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（2）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利最多，那么每件童装应降价多少元？22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线于点D，连接BC，过点线．D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切第4页（共26页）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点OC⊥AB于点C，点C在反比例函数y＝（k≠0）的图（1）求该反比例函数解析式；（2）若点D为反比例函数y＝（第一象限的图象上一点，且∠DOC＝30°，A在y轴上，∠OAB＝30°，B（2，0），象上．k≠0）在求点D的坐标．24．（12分）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．25．（14分）抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的顶点ACy为，抛物线：＝﹣（）x+m+422﹣m﹣1的顶点为，其中m≠﹣2，抛物线C1与C相交于点．BP2（1）当m＝﹣3时，在所给的平面直角坐标系中画出C1，C2的图象；（2）已知点C（﹣2，1），求证：点A，B，C三点共线；第5页（共26页）（3）设点P的纵坐标为q，求q的取值范围．第6页（共26页）2019-2020学年福建省南平市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答．题．卡．的相应位置填涂）1．（4分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、图形不是中心对称图形；B、图形是中心对称图形；C、图形不是中心对称图形；D、图形不是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．2．（4分）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x+2）2+1【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上下加减）进行解答即可．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣3（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x+2）2﹣1，化成一般形式得：y＝﹣3x2﹣6x﹣5．故选：C．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．3．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．乘坐公共汽车恰好有空座第7页（共26页）B．同位角相等C．打开手机就有未接电话D．三角形内角和等于180°【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．【解答】解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；B．同位角相等，是随机事件；C．打开手机就有未接电话，是随机事件；D．三角形内角和等于180°，是必然事件．故选：D．【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠BAC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．20°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠BAC＝∠BOC＝×60°＝30°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（4分）下列命题错误的是（）A．经过三点个一定可以作圆B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等第8页（共26页）D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等【分析】根据切线的性质、三角形的外心、圆的有关性质分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三个点可以作圆，故本选项错误；B、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；D、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；故选：A．【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是切线的性质、三角形的外心、圆的有关性质．6．（4分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）C．2D．2A．1B．【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2的正六边形的内切圆的半径为．B．2×＝，∴边长为故选：【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．7．（4分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点D两点，则△PCD的周长是（）因对正多边形的计E，交PA、PB于C、第9页（共26页）A．10B．18C．20D．22【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝PA+PB＝10+10＝20．故选：C．【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝8．（4分）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题PA+PB．80cm，宽为意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800B．（50+2x）（80+2x）＝2800D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800【分析】根据矩形的面积＝长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（整个挂图的长﹣2个边框的宽度）×（整个挂图的宽+2个边框的宽度）＝风景画的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．【解答】解：依题意，设边框的宽为xcm，（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，第10页（共26页）故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．9．（4分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A．110°B．120°C．150°D．160°【分析】设C′D′与BC交于点E，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出∠BAD′的度数，再由四边形内角和为360°即可得出∠BED′的度数，根据对顶角相等即可得出结论．【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．∵旋转角为20°，∴∠DAD′＝20°，∴∠BAD′＝90°﹣∠DAD′＝70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′＝360°，∴∠BED′＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°，∴∠1＝∠BED′＝110°．【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、四边形内角和以及对顶角，根据旋转及四边形内角和为360°找出∠BED′＝110°是解题的关键．10．（4分）已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（+2＝0的两个根，数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜nB．m＜p＜n＜qC．p＜m＜n＜qD．p＜m＜q＜n析】根据二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2x﹣p）（x﹣q）则实【分第11页（共26页）＝0的两个根，利用二次函数的性质和方程的知识，可以得到m，n，p，q的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝2，∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，∴p、q一定一个最大，一个最小，m、n一定处于p、q中间，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答．题．卡．的相应位置）11．（4分）已知x＝1是方程x2﹣a＝0的根，则a＝1．【分析】把x＝1代入方程x2﹣a＝0得1﹣a＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣a＝0得1﹣a＝0，解得a＝1．故答案为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．（4分）从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是．【分析】根先求出从三个数中取两个数的取法，再求出积为负数的可能性，根据概率公式解答即可．【解答】解：从2，﹣3，﹣5这三个数中，随机抽取两个数相乘，有3取种法，其中有2积种为负数，故其概率为．故答案为【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．13．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是有n可种能，而且这些事件的可能性．第12页（共26页）【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，∴AD＝2，∵∠D＝90°，∴AE＝＝＝，故答案为．【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（4分）已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是．【分析】根据弧长公式计算即可．【解答】解：此扇形的弧长＝＝，故答案为．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝（n为圆心角，r为半径）．15．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限D时，则▱ABCD面积为8．内，AD∥x轴，当双曲线y＝经过点【分析】设点的的坐标为（a，b），即可得到ab＝4，再根据AD＝a，AO＝b，即可得到第13页（共26页）▱ABCD面积．【解答】解：设点的的坐标为（a，b），∵双曲线y＝经过点D，∴ab＝4，∵AD∥x轴，∴AD＝a，AO＝b，O为AC的中点，∴AC＝2AO＝2b，又∵点∴▱ABCD面积＝2×AD×AC＝a×2b＝2ab＝8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的面积，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．16．（4分）如图，△ABO为等边三角形，OA＝4，动点C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，点D为BC中点，连接AD，则线段AD长的最小值为．【分析】取OB中点E得DE是△OBC的中位线，知，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，从而知求AD的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值，据此求解可得．【解答】解：如图1，取OB的中点E，在△OBC中，DE是△OBC的中位线，第14页（共26页）∴，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，∴求AD的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值，如图2，当D在线段AE上时，AD取最小值．故答案为：．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E为圆心，2为半径的圆．三、解答题（本大题共9小题，共86分．在答．题．卡．的相应位置作答）17．（8分）解方程：（1）x2＝9；（2）x2+3x﹣5＝0．【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3；（2）解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣5，∴△＝9+20＝29，∴，【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2＝．求证：无论k为何值，方18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k+k0程总有两个不相等的实数根．【分析】计算判别式的值得到△＝1，然后根据判别式的意义得到结论．【解答】证明：∵a＝1，b＝2k+1，c＝k2+k，第15页（共26页）∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝（4k2+4k+1）﹣（4k2+4k）＝1＞0∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．19．（8分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n10058150962001160.585002950.598004841000601摸到白球的次数m摸到白球的频率0.580.640.6050.601（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6（结果精确到0.1）；（2）试估算口袋中黑球有2只，白球有3只；（3）在（2）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是白球的概率．【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数，从而得出黑球的个数；（3）根据题意列出表格，得出所有等情况数和摸出两个球都是白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；故答案为：0.6；（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，所以可估计口袋中白球的个数＝5×0.6＝3（个），黑球5﹣3＝2（个）．故答案为：2，3；第16页（共26页）（3）列出表格：第一次白球第二次白球白球黑球黑球白球（白球，白球）（白球，白球）（白球，黑球）（白球，黑球）白球（白球，白球）白球（白球，白球）（白球，白球）（白球，黑球）（白球，黑球）（白球，黑球）（白球，黑球）（白球，白球）黑球（黑球，白球）（黑球，白球）（黑球，白球）（黑球，黑球）黑球（黑球，白球）（黑球，白球）（黑球，白球）（黑球，黑球）共有20个等可能结果，其中摸到两个白球的有6个结果，∴P（摸出两个白球）＝＝．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．20．（8分）如图，在边长为A（2，2），B（1，3），把△ABO绕点（1）画出△ABO，直接写出点A，B的坐标1的正方形网格中，△ABO的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是O逆时针旋转90°后得到△ABO．11；1111（2）求在旋转过程中，△ABO所扫过的面．积【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B点的对应点A1、B1得到△ABO，11然后写出点A，B的坐标；11第17页（共26页）（2）△ABO所扫过的面积是扇形BOB面积与△AOB面积之和，然后根据扇形面积公式1和三角形面积公式计算．【解答】解：（1）A（﹣2，2），B1（﹣3，1），如图，△ABO为所作；111（2）OB＝＝，AB＝，OA＝2，∠OAB＝45°+45°＝90°，所以△ABO所扫过的面积＝S+S＝ABO△+××2＝BOB1扇形π+2．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．（8分）商场服装柜在销售中发现：某牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，了迎接“六一”儿童节，库存，经市场调查发现，如（1）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（2）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利最多，那么每件童装应降价多少元？【分析】（1）利用童装平均每天售出的程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解1）设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方决问题．【解答】解：（（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得x1＝20，x2＝10第18页（共26页）∵增加盈利，减少库存，∴x＝10（舍去），答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题考查利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列方程与函数解决实际问题．22．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线．【分析】连接OC，过点＝60°，求得∠ABC＝∠AOC＝30°，根据切线的性质得到∠ABC＝∠BDG＝30°，根据性质得到OC＝OG，于是得到O作OG⊥DF，垂足为G，根据已知条件得到∠AOC＝∠AOB性质得到∠DCO＝90°，根据平行线的角平分线的结论．【解答】解：连接OC，过点O作OG⊥DF，垂足为G，∵弧AC＝弧BC，∴∠AOC＝∠AOB＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE，∴∠DCO＝90°，△DOC中，∠CDO＝90°﹣∴在60°＝30°，第19页（共26页）∵DF∥CB，∴∠ABC＝∠BDG＝30°，∴∠CDO＝∠GDO，∵OC⊥CE，OG⊥DF，∴OC＝OG，∴DF是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，∠OAB＝30°，B（2，0），OC⊥AB于点C，点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．（1）求该反比例函数解析式；（2）若点D为反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象上一点，且∠DOC＝30°，求点D的坐标．【分析】（1）过C作CE⊥x轴垂足为E，根据含30°的直角三角形的性质以及应用勾股定理求得C点的坐标，然后根据k＝xy求得k的值，从而求得反比例函数的解析式；（2）过D作DF⊥x轴垂足为F，首先解得△DOF是含30°的直角三角形，求得OF＝OD，设OF＝a，则OD＝2a，根据勾股定理求得DF，得到D（a，a），代入反比例函数的解析式即可求得a的值，从而求得D的坐标．第20页（共26页）【解答】解：（1）过C作CE⊥x轴垂足为E，∵∠OAB＝30°，∴∠ABO＝60°，∵OC⊥AB，∴在Rt△OBC中，∠COB＝30°，∴BC＝OB＝1，∴，在Rt△OCE中，∠COB＝30°，∴CE＝OC＝，∴OE＝∴C＝，，∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴，∴反比例函数解析式为．D作DF⊥x轴垂足为F，1）得∠COB＝30°，（2）过由（∴∠DOB＝∠COB+∠DOC＝60°，∴在Rt△DOF中，∠ODF＝30°，∴OF＝OD，设OF＝a，则OD＝2a，∴DF＝＝a，∴D（a，a），∵点D为反比例函数在第一象限的图象上一点，∴，解得：，，第21页（共26页）∴．【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．24．（12分）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据直角角和定理可得∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，ACB+∠BAD＝180°，即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°，三角形的两个锐角互余可得∠ACB+∠BAC＝90°，再根据∠ABD+∠ADB＝∠ACB，可得∠进而得出∠CAD＝90°，从而根据三角形内得证；第22页（共26页）（2）由题意可得∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（∠BCD﹣∠ACD），由（得∠DAC＝90°，可得∠ADC＝90°﹣∠ACD，再由∠ADC