流体静力学基础

流体静力学基础1第1页，课件共76页，创作于2023年2月

流体静力学的任务是研究流体在外力作用下静止平衡的规律，以及这些规律的实际应用。所谓静止平衡是指流体质点之间无相对运动。包含两种情况：

1）流体相对于地球无相对运动，即绝对静止；

2）流体随容器一起相对地球有运动，但流体质点之间无相对运动，即相对平衡。流体静力学在工程实践中有着广泛的用途，许多机器和仪器就是根据流体静力学原理制造出来的。注意：对于处于静止平衡状态的流体，粘性将不起作用。所以流体静力学理论无论对理想流体还是对实际流体都是适用的。2第2页，课件共76页，创作于2023年2月§2.1作用在流体上的力

一、表面力走路、游泳

作用在所研究流体体积表面上的力就称为表面力。是由与流体相接触的其他物体（可以是流体，也可以是固体）的作用而产生的。单位面积上作用的表面力称为应力。

法向应力：与流体表面垂直

切向应力：与流体表面相切

思考：内摩擦应力、压力各属于何种表面应力？

注意：静止平衡的流体不存在切向应力，其表面应力只有法向应力。3第3页，课件共76页，创作于2023年2月§2.1作用在流体上的力

二、质量力（体积力）

与流体质量成正比且作用在流体质量中心上的力称为质量力。举例：重力、惯性力

单位质量流体所受的质量力称为单位质量力。作用在体积为V，质量为m的流体上的质量力为F，如果用fx，fy，fZ分别表示单位质量力在三个坐标方向上的分力，则4第4页，课件共76页，创作于2023年2月§2.1作用在流体上的力

注意：作用在流体上的力必为分布力。作用在流体整个接触表面上的表面力作用在流体内部所有质点上的质量力5第5页，课件共76页，创作于2023年2月§2.2流体静压力及其特性

1、压力（强）及含义取一处于静止平衡状态的流体，用S平面将其分成两部分，并将A取走。若作用S面上的力为F，则

流体单位面积上所受到

的垂直于该平面的力，即

流体在单位面积上所受的

内法向力。BAS流体压强：BSBS6第6页，课件共76页，创作于2023年2月2、静止流体内的压强特性BASBSBSBS结论：F必定垂直于S

面，且指向S

面。静止流体内的相互作用力只能是一种压力。由于静止，切向力为零§2.2流体静压力及其特性第7页，课件共76页，创作于2023年2月

某一点处的压强大小只取决于该点的位置，而与压强的作用面的取向无关（事实上S面是任意取的）。注意：流体传动中的压力即物理学中压强。实验与理论证明：1atm＝1.013×105Pa

单位：N/m2（Pa）、MPa、kgf/cm2（at、工程大气压）、atm（标准大气压）、bar（巴）、mmH2O、mmHg等。注意单位之间的换算（P22表2.1）

1MPa=106Pa1kgf/cm2=9.8×104N/m2

≈105Pa=0.1MPa§2.2流体静压力及其特性第8页，课件共76页，创作于2023年2月面积压力作用力压力=作用力÷面积

作用力=压力x面积§2.2流体静压力及其特性9第9页，课件共76页，创作于2023年2月3.静止流体内的压强分布结论：在同一静止流体内，位于同一水平面上各点的压强处处相等。§2.2流体静压力及其特性第10页，课件共76页，创作于2023年2月设流体的密度ρ为恒量上端压力下端压力重力结论：在同一种静止流体内，高度差为h的任何两点之间的压强差皆等于ρgh

。§2.2流体静压力及其特性第11页，课件共76页，创作于2023年2月设静止液体自由表面上的环境压强为大气压强绝对压强：

p

相对压强：（计示压强）真空度：

§2.2流体静压力及其特性即静止液体任意点的压强包含了液面压强。第12页，课件共76页，创作于2023年2月4.静止流体内压强公式的物理意义液体中A点的压强：ρ为液体的密度pa为环境压强恒量§2.2流体静压力及其特性第13页，课件共76页，创作于2023年2月对于液体中的任意两点，有质元重力势能：单位重量质元的重力势能：z单位重量的液体质元获得的压力势能：结论：静止液体内任一点的单位重量流体的重力势能和压力势能之代数和为一恒量。§2.2流体静压力及其特性第14页，课件共76页，创作于2023年2月例1自水塔池引出一条管道向用户供水。今将阀门B关闭，问此时阀门B处的计示压强为多大？设水塔内水面在阀门B以上高h＝22m处，且塔顶与大气相通。解第15页，课件共76页，创作于2023年2月§2.2流体静压力及其特性

特性小结

特性1：流体静压力的方向总是和作用的面相垂直且指向该作用面，即沿着作用面的内法线方向。作为反作用力，流体静压力对器壁的作用方向如下图所示：

特性2：在静止流体内部任意点处的流体静压力在各个方向都是相等的。证明如下

16第16页，课件共76页，创作于2023年2月§2.2流体静压力及其特性xyzΔxΔyΔzΔSΔFxyαPlΔlΔzPyΔxΔzαPxΔyΔzw流体内压强定义:可证压强与无穷小面元方向无关,取体元

据平衡条件:

因此，静止流体内的压强是与空间点对应的，与无穷小面元方向无关,这就是点压强的概念；这一结论也适用于非惯性系和流动的理想流体。当需要测量静止平衡流体中某一点的静压力时，可以不必选择方向，只要在该点位置上进行测量即可。17第17页，课件共76页，创作于2023年2月§2.2流体静压力及其特性

特性3：液面压力是在静止平衡流体中等值传递的，这就是帕斯卡原理。18第18页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程

静压强是空间坐标的连续函数求静压力（强）分布规律

研究平衡状态的一般情况推导平衡微分方程式流体静力学最基本方程组7/15/202319第19页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式(推导)

在静止流体中任取一平行六面体的流体微团，边长为dx，dy，dz的微元，中心点静压力为p(x,y,z)

x方向受力分析

表面力——

质量力——只有静压力如何求解是关键7/15/202320第20页，课件共76页，创作于2023年2月p图2-3微元平行六面体x方向的受力分析CAB½dx2023/7/1521第21页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式(推导)作用在六个平面中心点上的静压力可按泰勒级数展开7/15/202322第22页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式(推导)

在垂直于x轴的左、右两个平面中心点上的静压力分别为

略去二阶以上无穷小量后，分别等于7/15/202323第23页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式(推导)

垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为

因为流体平衡7/15/202324第24页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式(推导)

将质量力和表面力代入上式，则

整理上式，并把各项都除以ρdxdydz，则得7/15/202325第25页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式(推导)

同理得

写成矢量形式流体平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式7/15/202326第26页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式(推导)

物理意义

在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压力的合力相平衡。

静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。

适用范围它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。7/15/202327第27页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式乘以dx乘以dy乘以dz三式相加，整理7/15/202328第28页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式所以

流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为压力差公式在静止流体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压力增加dp，压力的增量取决于质量力。7/15/202329第29页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程二、流体平衡条件对y、对z求导对x、对z求导对x、对y求导例：相减1.7/15/202330第30页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程二、流体平衡条件2.仍然是流体平衡微分方程平衡时，数学上质量力满足左式是质量力存在势函数的充要条件7/15/202331第31页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程二、流体平衡条件

理论力学中，上式是fx、fy、fz

具有力的势函数的充分必要条件3.

力的势函数与单位质量力的关系7/15/202332第32页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程二、流体平衡条件3.

既然能满足下式就是有势的力

代入压强差公式，得7/15/202333第33页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程二、流体平衡条件

有势函数存在的力称为有势的力

流体平衡条件：

只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。4.7/15/202334第34页，课件共76页，创作于2023年2月如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场，例如地球表面的空间为重力场。如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称为势力场或保守力场。质点在势力场内所受的力称为势力或保守力。如重力、弹性力及万有引力都是势力。势力场35第35页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程三、等压面

定义在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面

几点说明对不同的等压面，其常数值是不同的流体中任意一点只能有一个等压面通过。等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。dp=07/15/202336第36页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程三、等压面

举例说明

液体与气体的分界面，即液体的自由液面就是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点气体的压强。

互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。等压面等压面油水7/15/202337第37页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程三、等压面

证明

分界面上取两点1和2等压面油水12

点1——点2的压强增量

两式相减

因为dp=07/15/202338第38页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程三、等压面

等压面微分方程式

在等压面上各处的压强都一样，即dp=0

由压差公式

矢量形式平衡流体的等压面微分方程7/15/202339第39页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程三、等压面

等压面微分方程式

数学含义:

物理含义:等压面与质量力互相垂直单位质量流体中的质量力沿等压面移动微小距离所做的功等于07/15/202340第40页，课件共76页，创作于2023年2月§2.3流体平衡微分方程三、等压面

等压面特征

等压面也是等势面

等压面与质量力互相垂直质量力只有重力，等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面。但是，通常我们所研究的仅是这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平面dp=0

平衡状态，互不掺混的两种液体的分界面也是等压面7/15/202341第41页，课件共76页，创作于2023年2月想一想：下图所示那个断面是等压面？自由液面两种流体互不掺混的分界面答案：B-B,7/15/202342第42页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡

重力作用下的静止液体，其压力分布特点：

1）重力作用下静止液体内部压力随液体深度h呈线性规律变化，即p∝h；

2）重力作用下静止液体深度相同的各点静压力相等，组成的等压面为水平面；

3）重力作用下静止液体内任一点出的压力均有两部分组成：一部分是自由液面上的压力p0，一部分为该点以上液体自重所形成的压力，也就是。单位底面积高为h的液体柱的重量h

例2-1p2043第43页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡

讨论：由得：

z——单位重量流体所具有的位能

p/——单位重量流体所具有的压力能静止液体中任何一点的压力能和位能之和为一常数。仅重力作用下，44第44页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡

几个重要概念：

绝对压力：以绝对真空为基准进行度量的压力。

相对压力：以大气压力为基准进行度量的压力。

表压力、真空度：以大气压力为基准计算压力值时，基准以上的正值是表压力，基准以下的负值就是真空度。

注意：在液压与气压传动技术中，如不特别说明，所提到的压力均指相对压力。P21，例2.2、例2.345第45页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡

二、连通容器两个或几个互相连通的液体容器。最常见的是U形管。

1、若连通容器装着同一种液体，且两边液面以上的压力相等，则两容器中的液面高度必定相等。

结论：连通容器中充满同一液体的连通部分任意水平面上各点压力均相等，组成一个等压面。46第46页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡2、若连通容器装着同一种液体，假定两边液面以上的压力不相等且p1>p2，则两侧液面高度一定不相等，且h1<h2，即液面上压力较低的一侧液面较高。47第47页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡3、若连通容器中装有重度不同（1>2）且互不相混的两种液体，且两侧液面上压力相等，则装有较重液体的一侧会流向装有较轻液体的一侧，使其液面升高。

结论：分界面至自由液面的高度与液体的重度成反比。分界面以下任何高度的水平面仍然是等压面。

48第48页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡

三、重力作用下气体的平衡

、≠常数，

1、等温状态

（等温气体在重力作用下平衡时压力分布规律）49第49页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡

2、绝热状态

气体在重力作用下绝热平衡时压力分布规律气体在重力作用下绝热平衡时密度分布规律作业之一：推导这两个公式。50第50页，课件共76页，创作于2023年2月§2.4重力作用下流体的平衡

3、多变状态作业之二：推导这两个公式。51第51页，课件共76页，创作于2023年2月§2.5流体静压力的传递

一、帕斯卡定律

在密闭容器内，施加于静止液体上的压力将以等值同时传递到液体内所有各点上。若h可忽略，则可以说静止液体中压力处处相等。52第52页，课件共76页，创作于2023年2月§2.5流体静压力的传递

二、液压系统中压力的形成以液压千斤顶为例。53第53页，课件共76页，创作于2023年2月§2.5流体静压力的传递

讨论：

1）W↑，F1↑2）A1↓，A2↑，F1↓3）W=0，p=0，F1=0

结论：

液压传动中的压力取决于外界负载。54第54页，课件共76页，创作于2023年2月§2.6静止流体作用在平面上的力

一、作用合力计算已知：AB为一面积为A的任意形状的平板，倾斜地放在重度为的静止液体中，与液体自由界面的夹角为，自由液面上的压力为p0。将平板AB绕oy轴旋转90°，在AB平面上取微小的面积dA，55第55页，课件共76页，创作于2023年2月§2.6静止流体作用在平面上的力

作用在整个平板上的合力结论：

在静止液体中，作用在平面上的合力等于作用在该平面几何中心点处的静压力与该平面面积的乘积。

56第56页，课件共76页，创作于2023年2月§2.6静止流体作用在平面上的力

二、压力中心每一个微小面积上所受的力对x轴的静力矩之和应该等于作用在面积A上的合力对x轴的静力矩。

57第57页，课件共76页，创作于2023年2月§2.6静止流体作用在平面上的力

不计液面压力的相对压力中心

结论：无论绝对压力中心还是相对压力中心，总是在平面几何中心之下。58第58页，课件共76页，创作于2023年2月§2.6静止流体作用在平面上的力

三、规则几何形状平面的几何中心和相对压力中心

1、矩形

2、正三角形59第59页，课件共76页，创作于2023年2月§2.6静止流体作用在平面上的力3、倒三角形

4、圆形

60第60页，课件共76页，创作于2023年2月一矩形闸门铅直放置，如图所示，闸门顶水深h1=1m，闸门高h=2m，宽b=1.5m，试用解析法和图解法求静水总压力P的大小及作用点。

例2-4第61页，课件共76页，创作于2023年2月1.解析法解题步骤解：①求静水总压力

由图a知，矩形闸门几何形心面积代入公式，得b图ahCCb第62页，课件共76页，创作于2023年2月解题步骤

②求压力中心

因

代入公式面积惯距，得而且压力中心D在矩形的对称轴上。CDblClDhC第63页，课件共76页，创作于2023年2月解题步骤闸门宽b=1.5m，代入公式ρgh1ρg(h1+h)eD图b2.图解法先绘相对压强分布图，见图b。

压强分布图的面积

，得因压强为梯形分布，压力中心D离底的距离e为lD第64页，课件共76页，创作于2023年2月解题步骤如图b所示，或而且压力中心D在矩形的对称轴上。

第65页，课件共76页，创作于2023年2月

例2-5

如图所示，涵洞进口设圆形平板闸门，其直径d=1m，闸门与水平面成倾角并铰接于B点，闸门中心点位于水下4m，门重G=980N。当门后无水时，求启门力T（不计摩擦力）

第66页，课件共76页，创作于2023年2月首先分析平板闸门所受的力，有重力G、静水压力P以及启门力T，根据开启闸门时三者绕B点转动的力矩达到平衡即可求得启门力T。

解题步骤解：DP第67页，课件共76页，创作于2023年2月解题步骤下面求静水压力P及其作用点位置由题可知

代入公式

作用点D位于如图所示的位置，可利用公式求得，其中

圆形平板绕圆心转动的面积惯矩

则

DPlDlC第68页，课件共76页，创作于2023年2月解题步骤重力作用线距转动轴B点的距离

启门力T到B点的距离

由力矩平衡方程

解得

DPlDlC因此可求得D距转动轴B点的距离l2l1第69页，课件共76页，创作于2023年2月§2.6静止流体作用在平面上的力

例2-6

右图所示为一水下闸门，若闸门几何中心离水面1.25米，固定闸门