测量误差的基本知识

测量误差的基本知识第1页，课件共41页，创作于2023年2月

◆测量与观测值

◆观测与观测值的分类

●观测条件

●等精度观测和不等精度观测

●直接观测和间接观测

●独立观测和非独立观测§5.1测量误差及其分类第2页，课件共41页，创作于2023年2月5.1.1

测量误差及其来源●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等

三项又称为观测条件

●

测量误差的表现形式

●

测量误差（真误差=观测值-真值）（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）第3页，课件共41页，创作于2023年2月例：误差处理方法

钢尺尺长误差ld

计算改正

钢尺温度误差lt

计算改正

水准仪视准轴误差I

操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C

操作时抵消(盘左盘右取平均)

……

……1.系统误差

—误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。

(计算改正、观测方法、仪器检校)5.1.2测量误差分类第4页，课件共41页，创作于2023年2月2.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。

例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。

●准确度(测量成果与真值的差异）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●测量平差（求解最或是值并评定精度）3.几个概念:

●精（密）度（观测值之间的离散程度）第5页，课件共41页，创作于2023年2月举例:

在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i

进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。5.1.3偶然误差的统计特性第6页，课件共41页，创作于2023年2月误差分布表误差分布图第7页，课件共41页，创作于2023年2月◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(单峰性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零

(抵偿性)：第8页，课件共41页，创作于2023年2月5.2.1精度§5.2衡量精度的指标所谓精度，是指对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。在相同的观测条件下，所测得的一组观测值，虽然它们的真误差不相等，但都对应于同一误差分布，故这些观测值彼此是等精度的。第9页，课件共41页，创作于2023年2月1、中误差（标准差）二衡量精度的指标方差的定义

设对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观测值为l1,l2，……，ln，相应的真误差为Δ1,Δ2，……，Δn

Δi=li–X方差的定义为：第10页，课件共41页，创作于2023年2月中误差（标准差）表示的离散程度x=y较小较大称为标准差：上式中，称为方差：第11页，课件共41页，创作于2023年2月例：有两组观测值，各组分别为等精度观测，它们的真误差分别为

第一组：+4″,-2.0″,0,-4″,+3″;

第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″

(各组中真误差个数应大于10)。

由(5.4)得两组的中误差分别为

因为第一组误差较小，故其观测精度较高。第12页，课件共41页，创作于2023年2月

m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：

m1=3.0是第一组观测值的中误差；

m2=3.5是第二组观测值的中误差。第13页，课件共41页，创作于2023年2月2平均误差在相同的观测条件下，一组独立的真误差设为△1，△2，…，△n，则平均误差的定义式为

(5.5)式中为真误差的绝对值；n为观测次数。当观测次数为有限时，平均误差的估值为上例两组观测的平均误差为我国统一采用中误差作为衡量精度的指标。第14页，课件共41页，创作于2023年2月3、容许误差(极限误差)

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|第15页，课件共41页，创作于2023年2月4、相对误差(相对中误差)

——误差绝对值与观测量之比。

用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。

K2<K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：第16页，课件共41页，创作于2023年2月▓观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)§5.3算术平均值及其中误差第17页，课件共41页，创作于2023年2月5.3.1

观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=第18页，课件共41页，创作于2023年2月当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均

值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X第19页，课件共41页，创作于2023年2月观测值改正数特点5.3.2观测值的改正数V：

Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特点——改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=

nv=nL-

nv

=n-=0v

=0第20页，课件共41页，创作于2023年2月精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：5.3.3精度评定——用观测值的改正数V计算中误差计算公式(即白塞尔公式)：第21页，课件共41页，创作于2023年2月证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:第22页，课件共41页，创作于2023年2月证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:第23页，课件共41页，创作于2023年2月5.3.4算术平均值的中误差算术平均值的中误差，可由下式计算或由此可见，对一个量增加观测次数取其平均值，可以提高精度。但增加次数较多时，不仅工作量大，而且精度的递增亦趋缓慢。例如，n=16时，精度提高4倍，n=36时，观测次数比n=16时增多了20次，而精度仅比前者提高两倍。因此，当要求精度较高时，在可能的情况下，应考虑选用较精密的仪器和改善观测方法。

第24页，课件共41页，创作于2023年2月例l有一段距离，在相同的观测条件下用30m钢尺测量4次，其结果如表5.2的第二栏。求该段距离的最或然值及其中误差。第25页，课件共41页，创作于2023年2月解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：使用同一经纬仪观测某水平角5测回，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例2:次数观测值VVV备注1642120-141962642100+6363642100+6364642040+266765642130-24576平均642106[V]=0[VV]=1520642106±8.7第26页，课件共41页，创作于2023年2月

利用计算器进行统计运算

1．进入统计功能：2ndf

STAT

2．数据输入：

1）单个数据输入：（数据）DATA

2）多个相同数据输入：

（数据×数据个数）DATA

3．数据删除：（待删除数据）

2ndf

CD第27页，课件共41页，创作于2023年2月4．成果输出

第28页，课件共41页，创作于2023年2月一般函数的中误差令的系数为，用观测值代入偏导数式，fi为常量，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)§5.4误差传播定律及其应用第29页，课件共41页，创作于2023年2月对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)第30页，课件共41页，创作于2023年2月(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：<<前面各项即(h)第31页，课件共41页，创作于2023年2月(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：(5-19)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。第32页，课件共41页，创作于2023年2月

通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：

1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。第33页，课件共41页，创作于2023年2月例：量得1：500地形图上两点间长度dAB=51.2mm0.2mm,计算该两点实地距离DAB及其中误差mD：解：列函数式求全微分中误差式第34页，课件共41页，创作于2023年2月解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：使用同一经纬仪观测某水平角5测回，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。次数观测值VVV备注1124.387-392124.375+9813124.391-7494124.385-11平均124.384[V]=-2[VV]=140124.384±3.4mm第35页，课件共41页，创作于2023年2月例在ΔABC中直接观测∠A、∠B，其中误差分别为mA=±3″，mB=±4″，求mC

解：

1．列函数式∠C=180°-∠A-∠B

2．求全微分dC=-dA–dB

即f1=-1，f2=-1

3．应用误差传播定律

mC