高考数学总复习第14章14.2导数的应用大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第14章§14.2导数的应用大纲-A3演示文稿设计与制作§14.2导数的应用

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考14.2导数的应用双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．函数的单调性与导数的符号的关系(在某个区间上)导数f′(x)的符号函数f(x)的单调性f′(x)>0在该区间内为_______f′(x)<0在该区间内为_______f′(x)＝0在该区间内为_________增函数减函数常数函数2.函数的极值与最值的辨析(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)__

f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)__

f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，<>极大值思考感悟1．如果f(x)在其定义域内恒有f′(x)>0，则f(x)是否一定是其定义域上的增函数？为什么？2．函数y＝x3在x＝0处能取得极值吗？提示：在x＝0处不能取得极值．因为f′(x)＝3x2≥0恒成立，在x＝0两侧单调性没发生变化.故在x＝0处不能取得极值．课前热身1．(教材例2改编)函数f(x)＝2x3－6x＋7的极大值为(

)A．1

B．－1C．3 D．11答案：D答案：D3.函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值、最小值分别是(

)A．1，－1 B．1，－17C．3，－17 D．9，－19答案：C4．函数f(x)＝2x2－lnx的增区间为____________．5．f(x)＝x(x－b)2在x＝2处有极大值，则常数b的值为________．答案：6考点探究·挑战高考题型一用导数研究函数的单调性考点突破若函数y＝f(x)为连续函数，使f′(x)>0的x的取值区间为f(x)的增区间；使f′(x)<0的解集为y＝f′(x)的减区间，注意定义域．例1【思路分析】定义域为(0，＋∞)，讨论a，求f′(x)>0和f′(x)<0的解集．【名师点评】对于含有参数的函数研究单调性时，要根据参数是否影响f′(x)正负取值来确定是否讨论参数．题型二用导数求函数的极值对于求极值的问题，首先明确函数的定义域，并用导数为0的点把定义域分割成几部分，然后列表并判断导数在各部分取值的正负，极值点从表中就很清楚地显示出来．例2【思路分析】求f′(x)→令f′(1)＝0→求a→判断．【思维总结】求函数的极值点就是求f′(x)＝0的点．但应注意f′(x)＝0是必要条件，而不是充分条件．互动探究对本题的函数f(x)，要使其存在极值，求a的取值范围．题型三用导数求函数的最值或值域(1)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再判断，只需直接与端点的函数值比较即可获得．(2)当连续函数的极值只有一个时，相应的极值必为函数的最值．例3【思路分析】

(1)根据f′(1)＝1，求a；(2)分别求出f(m)与f′(n)的最小值．x－1(－1,0)0(0,1)1f′(x)－7－0＋1f(x)－1－4－3【思维总结】对于f(m)的最小值，是通过比较f(－1)、f(0)、与f(1)的大小得出的，对于f(n)的最小值是比较f′(－1)与f′(1)得出的．生活中的利润最大、用料最省等优化问题，转化为函数的最值，结合导数求解．考点四生活中的优化问题例4

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．【思路分析】关键是抽象出具体函数关系式，运用导数去解决．【思维总结】解决优化问题的基本思路是：方法技巧1．求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数．如例1.方法感悟2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．失误防范1．求函数的单调区间时，切莫忘求函数的定义域，不连续的单调区间不能合并．如例1.2．已知f(x)在(a，b)上的单调性，求参数取值范围，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立．注意验证等号是否成立．考向瞭望·把脉高考考情分析从近两年的高考试题来看，导数的综合应用是高考的热点之一，每年必考且题型多为解答题,题目难易程度属中、高档题，并且多为压轴题.结合求导，研究函数的极值，单调性或证明不等式等．在2010年的高考中，各省市都对此进行了考查，如大纲全国卷Ⅰ和卷Ⅱ理中，结合函数求导，证明不等式，重庆理利用导数求切线，求极值和单调性等．预测2012年导数的综合应用仍是高考的热点，会在一道解答题或压轴题中考查学生借用导数处理综合问题的能力，难度可能中等或较大．规范解答例【名师点评】本题主要考查了利用导数研究函数性质的方法，及学生的计算能力，属中档题．从题型看，学生不生疏，从方法上看，是学生平时练习的通法，易于入手．但学生明显的问题是①求导运算出错；②不求定义域，这显现了基础不牢固，平时练习不规范的毛病．名师预测已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，试求实数m的值．感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．2．常见的“结论词”与“反设词”原结论