高考数学总复习垂直关系理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习§.5垂直关系理-A3演示文稿设计与制作§8.5垂直关系

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.5垂直关系双基研习•面对高考1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的______一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．双基研习•面对高考基础梳理任何(2)定理：相交直线a∩b＝A垂直于一个平面b⊥α2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．(2)定理：直二面角垂线交线AB⊥αAB⊥MN思考感悟能否将直线与平面垂直定义中的“任何一条直线”改为“无数条直线”？能否将直线与平面垂直判定定理中的“相交”去掉？提示：不能，若平面内的直线互相平行，这些直线可能都与该直线垂直，但直线不一定与平面垂直．3．二面角二面角的定义从一条直线出发的______________所组成的图形叫作二面角．二面角的度量——二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.两个半平面垂直于课前热身1．设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是(

)A．a⊥α，b∥β，α⊥β

B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥β

D．aα，b∥β，α⊥β答案：C2.(教材习题改编)如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中有(

)个直角三角形．A．1B．2C．3D．4答案：D3．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：A4．(2011年合肥调研)m，n是空间两条不同直线，α，β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中，为真命题的有________(写出所有真命题的编号)．答案：①④5．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．答案：2考点探究•挑战高考考点突破考点一垂直关系的基本应用此类问题经常以选择题的形式在高考中出现，解答时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进行筛选．例1(2010年高考浙江卷)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

)A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m【思路点拨】根据线面垂直、平行的判定和性质判断．【解析】根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面知，B正确．【答案】

B【名师点评】一要注意定理条件都具备时才能得出结论，二要会寻找恰当的特殊模型进行筛选．变式训练1

(2009年高考浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(

)A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：选C.对于A、B、D均可能出现l∥β，故选C.考点二直线与平面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直．例2【思路点拨】利用线面垂直、线线垂直的判定与性质可证．【证明】连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，CE⊥AC，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.又CF平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.【名师点评】证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互转化，如本题是证明线面垂直，要通过证明线线垂直达到证明线面垂直的目的．解决这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．考点三平面与平面垂直的判定和性质要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考虑证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，然后进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化关系．特别地，若已知两个平面垂直时，一般要用性质定理，将其转化为线面垂直进行应用．例3【思路点拨】

(1)利用面面垂直的判定定理．(2)【误区警示】

在(2)中，误认为PD为四棱锥的高，导致体积求错，产生这一错误的原因是空间想象能力不强，思维定势，没有从题目条件出发．考点四二面角的求法有许多涉及求角与距离的问题可直接利用

来研究，并在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方法．对于求二面角通常是求其平面角的大小，而二面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂线呈现法等等．例4【思路点拨】

(1)由AF∥ED可得∠CED为异面直线CE与AF所成角．由Rt△CED中的边角关系可求其大小；(2)利用线面垂直的判定定理可证；(3)利用“垂线法”，即在平面ABCD内作AD的垂线，过垂足作棱EF的垂线，连结可得二面角的平面角．【规律小结】确定二面角平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求．方法感悟方法技巧1．在解决直线与平面垂直问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．(如例2)2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．(如例3)3．(1)对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的．(2)二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视．(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据．(如例3)失误防范1．直线和平面垂直(1)判定定理可以简单地记为“线线垂直⇒线面垂直”，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”．证题时常常是定义和判定定理反复使用，使线线垂直与线面垂直的关系相互转化．(2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线⊥线⇒线⊥面⇒线∥线⇒线∥面．2．垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．考情分析考向瞭望•把脉高考垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．预测2012年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角、二面角为主要考点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．真题透析例所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.4分(2)证明：因为DC＝DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE.连接MP，则MP⊥CE.又MP∩DM＝M，故CE⊥平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.7分(3)设Q为CD的中点，连接PQ，EQ.因为CE＝DE，所以EQ⊥CD.因为PC＝PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A-CD-E的平面角.10分【名师点评】(1)本题的图形既可以看做是从长方体中截取的一个图形，也可以看做是一个直三棱柱和一个三棱锥组合起来的图形，无论是截取的图形还是组合的图形，都是教材上最基本的空间图形，可以说本题是对教材基本图形进行改造加工，把教材上不同部分的主要问题组合起来命制的一道试题．(2)解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是“割补”，这个技巧不但在求空间几何体体积时有用，在解决其他问题时仍然有重要作用，如本题把图形放到一个长方体中，就会发现这个长方体实际上又是由两个正方体拼接而成，放到这个长方体中去看，所有要解决的问题几乎都是明显的结论．(3)证明面面垂直常用的2种方法一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来证明，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，可以先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面的一条垂线垂直；二是利用定义转化为证明二面角的平面角为直角，可先作出二面角的平面角，再由条件证明这个平面角是直角即可，虽说这种证法较为特殊，即通过计算，证明其为直角，但这也是立体几何中证明问题的一种重要方法．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求CC1到平面A1AB的距离；(3)求二面角A-A1B-C的正弦值．名师预测解：(1)∵A1D⊥平面ABC，∴平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，∴BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1，BC∩BA1＝B，∴AC1⊥平面A1BC.(2)∵AC1⊥A1C，∴四边形AA1C1C为菱形，感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论