高考数学总复习函数的单调性及最值大纲-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第2章§2.3函数的单调性及最值大纲-A3演示文稿设计与制作§2.3函数的单调性及最值

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考2.3函数的单调性及最值双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．函数的单调性(1)设f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意的x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在______上是增函数．当x1<x2时，都有________，则称f(x)在区间D上是______．(2)如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称f(x)在这一区间上__________，区间D称为单调区间．基础梳理区间Df(x1)>f(x2)减函数具有单调性2．复合函数的单调性设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是单调函数，那么复合函数y＝f[g(x)]在其定义域上也是单调函数．对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“____________________”，即“同增，异减”．同性则增，异性则减3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有_________②存在x0∈I，使得_________①对于任意x∈I，都有________②存在x0∈I，使得________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M课前热身答案：D答案：B答案：B4．若函数f(x)＝2

在[0,1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是__________．答案：(－∞，0]考点探究·挑战高考考点一函数单调性的判断或证明对于给出了函数的具体解析式，其单调性的判断比较灵活．而证明其单调性往往采用定义法．单调性的定义有等价形式，对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]来说，其主要步骤：①任设x1，x2∈[a，b]且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，变形；③判断差的符号；④写单调性结论．参考教材例3.例1【领悟归纳】先判断增减性，本方法利用了：两个增函数的和仍为增函数，也可用导数法，之后再用定义证明．函数的单调性是相对于确定的区间来说的．此类问题是针对具体的函数．在讨论增(减)性的同时，把相应的所在区间完整地写出来，即区间的端点是函数增减发生改变的分界点．用定义法时，使f(x1)－f(x2)正负改变的x1，x2所在区间．用导数法时，使f′(x)正负改变的x的范围．考点二求函数的单调区间例2∴x∈[2,4)，f(x)为增函数，x∈(0,2]，f(x)为减函数．∴增区间为[2,4)，减区间为(0,2]．【误区警示】本题不求定义域，认为减区间为(－∞，2)，增区间为(2，＋∞)．或者写[2,4]，[0,2]都是错的．互动探究若函数为y＝log2(x2－4x)，其单调区间如何？解：由x2－4x>0得x>4或x<0，令t＝x2－4x＝(x－2)2－4，∴t＝x2－4x在(4，＋∞)为增函数．在(－∞，0)为减函数，又∵y＝log2t，在t∈(0，＋∞)为增函数，∴(4，＋∞)为增区间，(－∞，0)为减区间．要针对函数的不同类型采取相应的方法，一般有二次函数配方法，连续型函数单调法，分式型均值不等式法，指数、对数型导数法．考点三函数的最值例3【思维总结】对于(1)的解法可用函数的单调性求最值，也可用均值不等式，(2)可转化a>－x2－2x在[1，＋∞)恒成立，求－x2－2x在[1，＋∞)上的最大值．函数单调性的定义中实质是三层含义：一层是自变量的大小，x1<x2，二层是函数值的大小，y1<y2(或y1>y2)三层是函数单调性结论：增函数(减函数)．知其二就可求其一．考点四函数的单调性与不等式例4【思维启迪】问题(1)是抽象函数单调性的证明，所以要用单调性的定义．问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此需将右边常数3看成某个变量的函数值．【探究提高】

f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)<f(x2)⇔f(x1)－f(x2)<0，若函数是增函数，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．方法技巧1．判定函数单调性的常用方法(1)定义法(基本法)；如例1.(2)导数法；如例2.(3)图象法(4)利用已知函数的单调性①两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；方法感悟②奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；③互为反函数的两个函数有相同的单调性；④如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D上的任一子区间上也是增(减)函数．2．单调性定义其等价形式为：失误防范1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．要先求定义域，如例2.2．单调性的定义中，x1，x2是任意的，代表区间内的所有量，切不可用两个特殊的自变量对应的函数值大小，得出单调性结论．考向瞭望·把脉高考函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断或证明函数的单调性，求单调区间、利用单调性求参数的取值范围、利用单调性解不等式等．由于近几年高考增加导数的内容，单纯考单调性的题很少，大多数综合性很强，且出现在解答题中，选择题、填空题都有所考查，如2010年课标全国卷文9题，利用指数函数单调性解不等式，大纲全国卷文22题，重庆文19题，难度较大，江西文17题，由单调性求字母取值，难度较低．考情分析预测2012年的高考中，将以函数单调性和基础知识为核心，结合导数，命制与三角函数、对数函数、指数函数、一次或二次函数为原型的具体函数，考查学生的运算、分析、解决问题的综合能力．规范解答例【名师点评】本题主要考查函数的单调区间最值及导数的应用，同时考查运算求解能力．本题考生应该比较容易得分，但从高考反馈信息来看，满分率较低，主要是解题不规范不全面；导数运算公式记忆不准确，求不对导数；或不会用导数判断单调性或解不等式出错．本题提醒了考生在平时的学习中要注意规范解答．名师预测解析：选B.由5－4x－x2≥0，得函数的定义域为{x|－5≤x≤1}，∵y＝5－4x－x2＝－(x2＋4x＋4)＋9＝－(x＋2)2＋9，对称轴方程为x＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B.答案：3感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．2．常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词