高考数学总复习任意角与弧度制任意角的三角函数理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第3章§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数理-A3演示文稿设计与制作§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.1任意角与弧度制、任意角的三角函数双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．角的概念(1)角的分类角按旋转方向不同可分为_______、______、______．(2)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__________________________．正角负角零角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．象限角及终边落在坐标轴上的角终边位置集合表示第一象限第二象限______________________________________________第三象限第四象限_______________________________________________终边位置集合表示x轴正半轴{α|α＝2kπ，k∈Z}负半轴_________________y轴正半轴负半轴________________________________________坐标轴{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}思考感悟1．如何表示终边在x轴上、y轴上的角的集合？3．角度制与弧度制的互化360°＝____，180°＝___，1°＝_____rad，1rad＝()°≈57.3°＝57°18′.4．弧长及扇形面积公式弧长公式：l＝|α|·r，扇形面积公式：S＝_____________，其中l为扇形弧长，α为圆心角的弧度数，r为扇形半径．2ππ5．任意角的三角函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数定义在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(x，y)____叫作α的正弦函数，记作sinα_____叫作α的余弦函数，记作cosα______叫作α的正切函数，记作tanα(α≠＋kπ，k∈Z)三角函数正弦函数余弦函数正切函数各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦都为正值终边相同角的三角函数值(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝_____cos(α＋k·2π)＝cosαtan(α＋2kπ)＝_____sinαtanα思考感悟2．根据三角函数的定义，三角函数在各象限的符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系？提示：根据三角函数的定义，y＝sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同，y＝cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同，y＝tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同．6．三角函数线图中有向线段MP、OM、AT分别表示_______、________、_______．正弦线余弦线正切线1．(2011年蚌埠质检)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是(

)A．第一或第三象限角B．第一或第二象限角C．第二或第四象限角

D．第三或第四象限角答案：A课前热身答案：D3．若sinα<0且tanα>0，则α是(

)A．第一象限角

B．第二象限角C．第三象限角

D．第四象限角答案：C答案：第二象限考点探究•挑战高考考点突破考点一角的集合表示1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．α第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角第一或第三象限角第一或第三象限角第二或第四象限角第二或第四象限角(2011年亳州质检)如图所示，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°.点P从点A出发，依逆时针方向等速地沿单位圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A，求θ.例1【思路点拨】先把实际语言转化为数学语言，即14秒钟后P在角14θ＋45°的终边上，由此可得到等量关系，再注意到θ角的范围便可确定θ的值．【名师点评】解答这类问题，关键在于抓住终边相同的角的一般表示，即与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋k·360°(k∈Z)．另外，对于角的概念，还要注意区分几个易混淆的概念：(1)正角、负角是以射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转；其顶点都在原点，始边为x轴的正半轴，所不同的是终边的旋转方向不同．一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限；(2)“小于90°的角”“锐角”“第一象限角”的根本区别在于其范围的不同，它们的范围分别是：“α<90°”“0°<α<90°”“k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)”．任意角三角函数的定义是锐角三角函数定义的推广，利用任意角三角函数的定义可以解决与30°，45°，60°等特殊角相关的三角函数求值问题，如计算sin150°，cos135°，tan120°等．已知角α终边上一点的坐标，也可计算角α的三角函数值等．考点二三角函数的定义【思路点拨】先根据三角函数的定义求出x的值，再求sinα，tanα的值．例2【名师点评】

(1)在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α的终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．(2)任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置(原点除外)，角α的三角函数值都是确定的．1．熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键．2．判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限．3．对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限．考点三三角函数值符号的判定例3这类问题主要是利用周长和面积公式，找出扇形半径、圆心角、周长和面积的联系，建立函数关系式．已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20cm，当圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？考点四弧度制的应用例4【思路点拨】利用弧度制下扇形弧长及面积公式．【名师点评】解决此类问题时，用弧度制下的扇形弧长、面积公式比较简单，但一定要注意将角度化为弧度．第(2)问中的最值问题一般是转化为函数最值问题或是利用均值不等式求解．变式训练2已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？方法技巧1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．(如例2)2．要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系．给定一个角，要准确判断它所在的象限或区域．熟记一些常见角的集合．(如课前热身5)方法感悟1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．失误防范考情分析考向瞭望•把脉高考从近几年高考来看，三角函数定义在高考中经常出现，既有小题也有大题，主要是与其他知识相结合考查，一般不单独命题．预测2012年高考仍将与其他知识结合考查，重点考查基础知识与运算能力．(本题满分10分)已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，求角θ的正弦、余弦和正切值．规范解答例解析：选A.sin(2191°)＝sin(6×360°＋31°)＝sin31°.故选A.名师预测3．若角α与角β的终边在同一条直线上，则角α与角β满足关系式__________．解析：由条件知角α与角β的终边或重合或共线且反向，于是有α＝β＋2k1π或α＝β＋π＋2k2π＝β＋(2k2＋1)π(k1、k2∈Z)，即α＝β＋kπ(k∈Z)．答案：α＝β＋kπ(k∈Z)4．已知圆的半径是6cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________．感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样