高考数学总复习数列的概念与简单表示法理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习第5章§5.1数列的概念与简单表示法理-A3演示文稿设计与制作§5.1数列的概念与简单表示法

§5.1数列的概念与简单表示法考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的___．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为数列{an}，其中数列的第1项a1也称____；an是数列的第n项，也叫数列的____．双基研习•面对高考基础梳理项首项通项2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数____无穷数列项数____按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1__an其中n∈N＋递减数列an＋1__an常数数列an＋1＝an有限无限><3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为_________________的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列______就是这个数列．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与__之间的函数关系可以用一个式子表示成_______，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．N＋或它的有限子集函数值an＝f(n)n思考感悟数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？1．(教材习题质检)已知数列{an}的通项公式为an＝29－9n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(

)A．20

B．11C．－2 D．－7答案：C课前热身答案：D3．(2011年宿州质检)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于(

)A．7

B．8C．9 D．17答案：A5．已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2011＝______；a2018＝______.答案：0

1考点探究•挑战高考考点突破考点一数列的通项公式根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式．解决这一题型的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系，如果关系不明显，应该将项作适当变形或分解，让规律突现出来，便于找到通项公式；同时还要借助一些基本数列的通项及其特点．例1【思路点拨】由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前、后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一．【失误点评】在解决有关通项公式的问题时易在以下环节出错：(1)项数搞错；(2)由归纳法求通项时，只满足前几项，而不能满足所有的情况．变式训练1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．解：(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示．其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻的奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式为考点二由递推关系求通项公式递推公式是给出数列的一种方法，根据递推公式，写出数列的前几项，可以根据前几项的构成，找出数列的基本规律，归纳出数列的通项公式；或将递推公式变形，推导出数列的通项公式．例2(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N＋)．(4)由已知，an>0，在递推关系式两边取对数，有lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg3.所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比数列．所以bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3.所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以an＝32n－1.【规律小结】

(1)数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中{f(n)}的前有限项可求和．此种类型的数列求通项公式时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法．(2)数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中{g(n)}的前n项的乘积容易化简．此数列求通项公式一般采用累乘法．考点三由Sn求an例3已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2；(3)Sn＝3an－2.【解】

(1)a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.由于a1也适合此式，因此an＝4n－5(n∈N＋)．【失误点评】在解答过程中易忽视n＝1时，a1＝S1，而直接利用an＝Sn－Sn－1求an的情况，导致此种错误的原因是没有熟练掌握数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系或粗心大意．1．数列的单调性：若an＋1>an，则{an}为递增数列，若an＋1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列．2．周期性：若an＋k＝an对n∈N＋(k为常数)成立，则{an}为周期数列．对于一些数列，若通项无法求出时，可考虑其周期性．3．有界性：若{an}满足：|an|≥M或|an|≤M，则称{an}为有界数列，并能求出数列中的最大项或最小项．考点四数列的函数特性例4【名师点评】

(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想也是解题的常用方法．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图像等方法．方法感悟方法技巧1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．(如例1)3．已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)逐差累加或累乘法．(如例2)4．创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇．(如例4)1．数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．失误防范2．根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．3．数列的图像是一系列孤立的点．由数列的递推关系求数列的项或通项公式是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可能作为一步出现在解答题中，属较难题目，旨在考查学生分析问题、解决问题的能力．考查基本知识的同时又注重考查等价转化、函数与方程、分类讨论等思想方法．预测2012年仍将以考查递推关系式为主，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．考情分析考向瞭望•把脉高考真题透析例(2)数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题．数列的通项公式的求解是历年高考的重点和热点，该题中的累加法实际上也是推导等差数列通项公式的一种方法．关于正整数n的对应函数，使其取最值的点就在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验便可确定最值．名师预测2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋Kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数K的取值范围是(

)A．K>0 B．K>－1C．K>－2 D．K>－3解析：选D.由an＋1>an知数列是一个递增数列，∴an＋1－an＝[(n＋1)2＋K(n＋1)＋2]－(n2＋Kn＋2)＝2n＋1＋K>0，即K>－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立，∴K>－3，故选D.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－n＋2，则该数列的通项an＝________.感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的