高考数学总复习数学归纳法理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习§.数学归纳法理-A3演示文稿设计与制作§6.7数学归纳法

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§6.7数学归纳法双基研习•面对高考1．数学归纳法数学归纳法是用来证明关于_________命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是_______________________________．2．用数学归纳法证明命题的步骤(1)当n＝______时，验证命题成立．双基研习•面对高考基础梳理正整数使命题成立的最小的正整数n0(2)假设当n＝k(k≥n0且k∈N＋)时命题成立，推证n＝_______时命题也成立，从而推出命题对于所有的_______________________成立，其中第一步是_________，第二步是__________，二者缺一不可．思考感悟

数学归纳法的第一步是验证，那么对于任何命题都是验证n＝1时命题成立吗？提示：不一定，要看题目中n的要求，如证当n≥3时命题成立，则第一步应验证n＝3时命题成立．

k＋1从n0开始的所有正整数n归纳奠基归纳递推课前热身1．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为(

)

A．1

B．1＋2C．1＋2＋22

D．1＋2＋22＋23答案：C答案：D答案：B5．(2011年黄山模拟)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．答案：(5,7)考点探究•挑战高考考点突破考点一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题是数学归纳法应用的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．同时，由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用归纳假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．例1【思路点拨】本题是一个与正整数n有关的命题，直接证明有困难，可考虑用数学归纳法．【名师点评】用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n＝k＋1时命题成立，从n＝k＋1的待证的目标恒等式(或不等式)的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式(或不等式)的另一端，再运用归纳假设即可．同时，还要注意待证的目标恒等式(或不等式)的另一端的变化(即用“k＋1”代替恒等式或不等式中的所有的“n”)考点二用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立得n＝k＋1成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法；④综合法；⑤分析法等．例2【思路点拨】

本题考查利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式．合理运用归纳假设后，向目标靠拢的过程中，可以利用证明不等式的一切方法去证明．【名师点评】用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．考点三归纳、猜想、证明“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．例3【名师点评】

数学归纳法是高中重要的证明方法，在高考中常与其他知识相结合，尤其与数列中的归纳、猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明时要灵活应用题目中所给出的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．变式训练2在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)，求a2，a3，a4与b2，b3，b4的值，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．方法感悟方法技巧1．利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明．(如例3)2．利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题．(如例1)3．利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题．(如例2)4．用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．”因此必须注意以下三点：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．(2)递推乃关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．(3)寻找递推关系的方法①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置．③在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．(如例3)失误防范1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．3．注意n＝k＋1时命题的正确性．4．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k(k∈N＋)时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．考情分析考向瞭望•把脉高考数学归纳法在高考中的考查重点是证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题，其中用数学归纳法证明与数列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查学生分析问题、解决问题的能力，难度中、高档．预测2012年高考可能以与数列有关的等式或不等式的证明为主要考点，重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力．

真题透析例(本题满分12分)(2010年高考江苏卷)已知△ABC的三边长都是有理数．(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，8分sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①和归纳假设，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立.10分综合①②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数.12分【名师点评】本题易失误的是：①归纳假设使用不当致误；②没有证明sinA·sinnA或sinA·sinA为有理数，直接应用致误；③步骤不全，造成失分．名师预测已知(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…an(x－1)n(其中n∈N＋)．(1)求a0及Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；(2)试比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，并说明理由．解：(1)取x＝1，则a0＝2n；取x＝2，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.(2)要比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，即比较3n与(n－1)·2n＋2n2的大小，当n＝1时，3n>(n－1)2n＋2n2；当n＝2,3时，3n<(n－1)2n＋2n2；当n＝4,5时，3n>(n－1)2n＋2n2；猜想：当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，当n＝4时结论成立，假设当n＝k(k≥4)时结论成立，即3k>(k－1)2k＋2k2，两边同乘以3，得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6>0，∴3k＋1>[(k＋1)－1]2k＋1＋2(k＋1)2，即n＝k＋1时结论也成立．∴当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2成立．综上得，当n＝1时，Sn>(n－2)2n＋2n2；当n＝2,3时，Sn<(n－2)2n＋2n2；当n≥4，n∈N＋时，Sn>(n－2)2n＋2n2.感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须