高考数学总复习直接证明与间接证明理-A3演示文稿设计与制作

高考数学总复习§.直接证明与间接证明理-A3演示文稿设计与制作§6.6直接证明与间接证明

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§6.6

直接证明与间接证明

双基研习•面对高考1．综合法(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论_______，这种证明方法叫综合法．双基研习•面对高考基础梳理推理证明成立2．分析法(1)定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的___________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫作分析法．要证明的结论充分条件思考综合法与分析法各有何特点？【思考·提示】分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种．平时我们常用分析法探索解题思路，然后用综合法书写步骤．3．反证法假设原命题________，经过正确的推理，最后得出________，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾课前热身1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的(

)A．充分条件B．必要条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：B2．(教材习题改编)用反证法证明命题：已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25.下列假设中正确的是(

)A．假设a1，a2，a3，a4至多有一个数大于25B．假设a1，a2，a3，a4都不大于25C．假设a1，a2，a3，a4至多有两个数大于25D．假设a1，a2，a3，a4都大于25答案：B答案：B答案：x<y5．(原创题)等差数列{an}中，a1>0，且a3＋a125＝0，则使an<0的最小自然数n为________．解析：∵{an}为等差数列，∴a3＋a125＝2a64＝0，即a64＝0.又∵a1>0，∴d<0.∴a65<0.答案：65考点探究•挑战高考考点突破考点一综合法1．综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．2．综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是演绎推理方法．例1(2010年高考浙江卷)已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a<b)．(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.【思路点拨】

(1)先利用导数求出切线斜率，然后再求切线方程；(2)先求出x1，x2，x3再利用x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列可求出x4.【规律小结】综合法是数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．变式训练1已知a，b，c为互不相等的实数，求证：a4＋b4＋c4>abc(a＋b＋c)．证明：∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2.又a，b，c互不相等，∴上面三式中不能取“＝”号．∴a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋a2c2，①∵a2＋b2≥2ab，∴a2c2＋b2c2≥2abc2，同理，a2b2＋a2c2≥2a2bc，b2c2＋a2b2≥2ab2c，又a，b，c互不相等，∴a2b2＋b2c2＋a2c2>abc2＋a2bc＋ab2c，②由①②式得a4＋b4＋c4>abc(a＋b＋c)．考点二分析法分析法是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，其逻辑依据是演绎推理方法．例2【思路点拨】所给条件简单，所证结论复杂，一般采用分析法．【反思感悟】分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法．具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．考点三反证法反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立(否定结论)；(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)例3【思路点拨】命题中有“至少”、“不都”、“都不”、“没有”、“至多”等指示性词语，在用直接法很难证明时，可以采用反证法．【名师点评】反证法证题的实质是证明它的命题的否定不成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．变式训练2

已知a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明：假设题中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴都没有两个不同的交点)，由y＝ax2＋2bx＋c＝0，y＝bx2＋2cx＋a＝0，y＝cx2＋2ax＋b＝0，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得，4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．方法感悟方法技巧1．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．(如例2)2．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．(如例1)3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．失误防范1．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．考情分析考向瞭望•把脉高考数学证明是每年必考的知识点之一，考查重点是利用综合法、反证法证明问题，题型大多为解答题，难度为中、高档．主要是在知识交汇点处命题，像数列、立体几何的平行、垂直、不等式、解析几何等都有考查，在考查数学基本概念的同时，注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．预测2012年高考仍将以综合法证明为主要考点，偶尔会出现反证法证明的题目，重点考查运算能力与逻辑推理能力．

规范解答例【名师点评】

(1)本题易失误的是：①不会整体换元，发现不了解题规律，致使本题无从入手；②不会“反设”；③不知道“至多”、“至少”、“不可能”这类题目用反证法证明会有“立竿见影”的效果．(2)反证法是一种反设结论导出矛盾的证明方法，其难点就是如何反设结论和导出矛盾，破解的方法是：反设的结论就是新的已知条件，和题目中的其他已知条件一起进行推理，通过对题目具体情况的分析找到导出矛盾的方向．名师预测若函数f(x)＝x2＋ax＋b有两个不同的零点x1，x2，且1<x1<x2<3，证明：在f(1)，f(3)两个函数值中至少有一个小于1.感谢观看谢谢大家A3演示文稿设计与制作信息技术2.0微能力认证作业中小学教师继续教育参考资料高考数学总复习第课时直接证明与间接证明文-A3演示文稿设计与制作第6课时直接证明与间接证明第6课时直接证明与间接证明考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考证明的结论推理论证成立充分条件内容综合法分析法文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证即证…思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用．2．间接证明反证法：假设原命题_______

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_____．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾考点探究·挑战高考综合法考点一考点突破综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．例1分析法考点二分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．例2【思路分析】

ab⇔a·b＝0，利用a2＝|a|2求证．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．故原不等式得证．【误区警示】本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．反证法考点三反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反证法证明．【名师点评】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”…“即要证”…“就要证”等分析得到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．失误防范1．反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出