第四章弯曲内力

第四章弯曲内力一、工程实例§4-1弯曲的概念和实例AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线FRAF1F2FRB

二、基本概念1.梁：以弯曲变形为主的杆件所有外力都在纵向对称面内且作用线垂直于杆轴线.（1）受力特征（2）变形特征

变形前为直线的轴线,变形后成为曲线且仍在纵向对称面内.4.弯曲变形2.平面弯曲

作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.3.非对称弯曲外力不作用在纵对称面时的弯曲变形4.静定梁的基本形式

悬臂梁

外伸梁

简支梁一、内力计算[举例]已知如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.解:求支座反力§4-3

剪力和弯矩BAalFFRAyFRAxFRBABF求内力——截面法

弯曲构件内力剪力FS

弯矩

M

MFRAyFRBABFmmxFRAyFSCFFRBFSCM二、内力的符号规定FS：对保留部分内任一点取矩，顺时针转为正剪力；反之为负。M：弯曲变形向下凸为正，向上凸为负。M(+)M(+)M(–)M(–)三、计算规律1.梁上的外力为F、q时梁任一截面上的剪力,等于该截面左侧（或右侧）所有外力的代数和梁任一截面上的弯矩,等于该截面左侧（或外侧）所有外力对该截面形心之矩的代数和.外力的符号：左上右下为正外力的符号：上正下负2.梁上有集中力偶时集中力偶对剪力没有影响，弯矩会突变，变化量等于集中力偶的数值。[练习1]：求图示梁1--1截面处的内力。解：qqLab11FS1=-qL+qbM1=-qL(a+b)+qbb/2解:例题2求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.FRA=4kNFRB=4kNB1m2.5m10kN·mAC12FRAFRBFS1=FS2M1-M2=4-(-6)=10练习2：求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力。1212343455§4-4

剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和弯矩方程

用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.二、剪力图和弯矩图

以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFS(x)OxOM(x)例题1图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.解：（1）

求支反力lqFRAFRBABx（2）列剪力方程和弯矩方程.剪力图为一倾斜直线绘出剪力图x=0处，x=l

处,+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB弯矩图为一条二次抛物线lqFRAABxFRB令弯矩的极值绘出弯矩图+l/2

由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上

FS=0

lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+l/2

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB例题7:试作此梁的剪力图和弯矩图.解:

xxlFABCabFRAFRB++

在集中荷载作用处剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值为极值.AC段CB段xxlABCabFRAFRBM++例题3：试作此梁的的剪力图和弯矩图.解：2.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图..5.梁上FS=0的截面处，M为极值。小结3.梁上集中力作用处剪力（图）有突变,突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.4.梁上集中力偶作用处弯矩（图）有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图没有变化.1.取梁的左端点为坐标原点,x轴向右为正:剪力图向上为正;弯矩图向上为正.练习：列图示梁的内力方程xyq(x)FMFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)

mmnnq(x)Cnxmmndx§4-4荷载集度、剪力和弯矩间的关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系规定

q(x)向上为正.FS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C写出微段梁的平衡方程得到

略去二阶无穷小量即得1.梁上无荷载区段，q(x)=0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.xFS(x)O当FS(x)>0时,向右上方倾斜.当FS(x)<0时,向右下方倾斜.xOM(x)OM(x)x二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系q无，Fs平，M斜Fs>0,MFs<0,MxFS(x)O2.梁上有均布荷载,即q(x)=cxOM(x)q(x)>0,Fs(x),M(x)q(x)〈0,Fs(x),M(x)xFS(x)OxOM(x)q平，Fs斜，M曲q>0,FSq<0,Fsq>0q>05.FS(x)=0的截面上，弯矩取得极值。.3.在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.4.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.1.q无，Fs平，M斜Fs>0,MFs<0,M2.q平，Fs斜，M曲q>0,FSq<0,Fs梁上最大Mmax可能发生在FS(x)=0的截面上;或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧BACD2002001200FFFRAFRB+25+例题1已知F=25kN,试作剪力图和弯矩图.解：FS:M:255

例题2,3kNkNmkNkNm++++5kN4kNm三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系（面积法）X1,x2两个横截面间剪力的变化量等于x1,x2两横截面间分布荷载图的面积.x1

，x2两个横截面间弯矩的变化量等于.x1,x2两个横截面间剪力图的面积.+80kN80kNFRAFRBEqABCD0.21.612例题5q=100kN/m,.试作此梁的剪力图和弯矩图.

161648kNm+4.51.55.5kNkNm

例题65.54.5++3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m201666+20.5例题7作梁的内力图.FSM1.平面刚架的内力:剪力,弯矩,轴力ABC一、平面刚架的内力图§4-6

平面刚架和曲杆的内力图刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。弯矩图:画在各杆的受压側,不注明正、负号.剪力图及轴力图

:可画在刚架轴线的任一側(通常正值画在

刚架的外側).注明正,负号.2、内力图符号的规定CalF1F2ABM图F1aF1aF1a+F2lFS图F1+F2+FN图F1|例题1作此刚架的内力图.求做图示刚架的内力图qLLABCqLqL/2qL/2

例题2++二、平面曲杆轴力引起拉伸的轴力为正；弯矩使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正.剪力对所考虑的一端曲杆内一点取矩产生顺时针转动趋势的剪力为正;1、平面曲杆:轴线为一平面曲线的杆件.2、内力符号的确定FORFt