测量误差和不确定度

测量误差和不确定度1第1页，课件共51页，创作于2023年2月测量误差和数据处理的基础知识测量误差和不确定度估算的基础知识实验数据有效位数的确定作图法处理实验数据数据的直线拟合（最小二乘法处理实验数据）第2页，课件共51页，创作于2023年2月测量物理实验以测量为基础：所谓测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。即待测量是该计量单位的多少倍。完整的测量结果应表示为：

以电阻测量为例

包括：

测量对象测量对象的量值

测量的不确定度测量值的单位

（X

=x

x表示被测对象的真值落在（x

x，x

x）范围内的概率很大，x的取值与一定的概率相联系。）第3页，课件共51页，创作于2023年2月测量的分类直接测量和间接测量（按测量方法分）直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果；间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。等精度测量与不等精度测量（按测量条件分）

等精度测量是指在同一条件下进行的多次测量，每次测量的可靠程度相同；不等精度测量是指在非同一条件下进行的多次测量，每次测量的可靠程度不相同。第4页，课件共51页，创作于2023年2月测量的要素测量对象测量手段（仪器、方法）测量结果测量单位测量条件第5页，课件共51页，创作于2023年2月测量误差及其分类

误差Δx＝测量结果x

－真值x0误差特性：普遍性、误差是小量由于真值的不可知，误差实际上很难计算（有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计算误差）误差的表示方法：－绝对误差Δx

－相对误差误差分类－系统误差 －随机误差

第6页，课件共51页，创作于2023年2月系统误差定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，其误差的大小和符号保持不变，或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。主要来源：仪器误差、方法（理论）误差、环境误差、人员误差等分类及处理方法：

①已定系统误差：必须修正

电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。②未定系统误差：要估计出分布范围

（大致与B类不确定度SB

相当）如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等第7页，课件共51页，创作于2023年2月随机误差定义：消除或修正了一切明显的系统误差后，在相同条件下对同一物理量进行多次测量时，每次测量值的随机涨落称为随机误差。产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化。例如：电表轴承的摩擦力变动、环境因素的波动、操作读数时的视差影响。特点：①小误差出现的概率比大误差出现的概率大；②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取多次测量的平 均值有利于消减随机误差。第8页，课件共51页，创作于2023年2月系统误差与随机误差的区别和联系区别：产生的原因不同、误差的性质和处理的方法不同。前者是非统计量，处理方法针对具体的实验情况来确定；后者是随机量，在处理上有一套完整的统计方法。共同之处：系统误差与随机误差都是测量误差的一个分量。第9页，课件共51页，创作于2023年2月精密度、准确度、精确度精密度高：指随机误差小，测量的数据很集中。准确度高：指系统误差小，测量的平均值偏离真值小。精确度高：指随机误差和系统误差都非常小，才能说测量的精确度高。第10页，课件共51页，创作于2023年2月

假定对一个量进行了n次测量，测得的值为xi(i=1,2，…，n)，可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值(假定无系统误差)

用标准偏差

σx

表示测得值的分散性σx按贝塞耳公式求出：

σx大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；

σx小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；

σx可由带统计功能的计算器直接求出。随机误差的处理第11页，课件共51页，创作于2023年2月随机误差的处理举例例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量 结果如下（单位mm）：

120.08,120.14,120.06,120.10,120.06,120.10则：测得值的最佳估计值为测量列的标准偏差第12页，课件共51页，创作于2023年2月测量误差与不确定度

不确定度的权威文件是国际标准化组织(ISO)、国际计量局(BIPM)等七个国际组织1993年联合推出的GuidetotheexpressionofUncertaintyinmeasurement

不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。第13页，课件共51页，创作于2023年2月随机变量的分布

正态分布：大量相对独立微小因素共同作用下得到的随机变量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以近似看作服从正态分布。

μ表示x出现概率最大的值，消除系统误差后，通常就可以得到x的真值。σ称为标准差，是曲线的拐点ξ表示随机变量x在〔x1，x2〕区间出现的概率，称为置信概率。

实际测量的任务是通过测量数据求得μ和σ的值。P(x)xσ小σ大第14页，课件共51页，创作于2023年2月随机变量的分布实际测量次数有限，可用n次测量值的来估算μ、σ:可以证明平均值的标准偏差是单次测量的sx值的倍此时可用来表示实验结果但是由于测量次数n小，测量值的平均值将不符合正态分布，而是符合t分布（t分布是从的性质得到一种分布。其中自由度ν=n－1。n小时，t分布偏离正态分布较多。n大时趋于正态分布）。此时，的置信概率不是0.683，需乘以与置信水平ξ、自由度ν有关系数，得到置信水平为ξ的结果：的值可查表第15页，课件共51页，创作于2023年2月直接测量量不确定度的估算总不确定度分为两类不确定度：

A类分量SA——多次重复测量时用统计学方法估算的分量；

B类分量SB——用其他方法（非统计学方法）评定的分量。这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：（物理实验教学中一般用的总不确定度，置信概率取为95%）第16页，课件共51页，创作于2023年2月直接测量量不确定度的估算简化处理方法：－A类分量SA的估算：

实验中用到的，列表如下当5＜n≤10时，可简化认为SA=Sx（置信概率95%）－B类分量SB=仪

,认为SB主要由仪器的误差特点来决定

－不确定度合成：第17页，课件共51页，创作于2023年2月直接测量量不确定度的估算结果表示：－以测量列x的平均值再修正掉已定系统误差项Δ0

得到被测对象的量值。－由A、B类不确定度合成总不确定度则：第18页，课件共51页，创作于2023年2月关于仪器误差限△ins一般取基本误差限或示值误差限（仪器误差限）电表△ins=k%·量程电阻箱△R=a%·R+nRba----电阻箱的级别

R----取用的电阻值

n-----所用的旋钮个数

Rb---常数，对于0.1级电阻箱,Rb=0.001Ω大多数情况下把△ins简化为（许多仪器误差的成因分析和各分量限值的计算相当复杂）非随机分量的B类不确定度SB第19页，课件共51页，创作于2023年2月关于单次测量仪器精度较低，随机误差小，多次测量相同对测量结果的准确度要求不高因条件的限制，不可能进行多次测量不确定度用极限误差表示：1、取仪器的允差2、根据仪器结构、测量对象、环境条件、测量者感官灵敏度估计一个极限误差。（二者取一便可）第20页，课件共51页，创作于2023年2月直接测量量不确定度估算过程（小结）

求测量数据列的平均值修正已定系统误差

，得出被测量值x用贝塞耳公式求标准偏差sx

标准偏差sx

乘以因子来求得SA

当5＜n≤10，置信概率为95%时，可简化认为SA

Sx

第21页，课件共51页，创作于2023年2月直接测量量不确定度估算过程（小结）根据使用仪器得出SB

:SB=仪由SA、SB合成总不确定度S

给出直接测量的最后结果：（单位）第22页，课件共51页，创作于2023年2月直接测量量不确定度估算举例例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值Di分别为：0.249,0.250,0.247,0.251,0.253,0.250;同时读得螺旋测微计的零位x0为：0.004,单位mm，已知螺旋测微计的仪器误差为Δ仪=0.004mm，请给出完整的测量结果。解：测得值的最佳估计值为

测量列的标准偏差

测量次数n=6，可近似有

则：测量结果为

D=0.246±0.004mm第23页，课件共51页，创作于2023年2月间接测量量的不确定度合成

实用公式第24页，课件共51页，创作于2023年2月间接测量量的不确定度合成过程1.先写出（或求出）各直接测量量xi的不确定度2.依据关系求出或3.用或求出或4.完整表示出Y的值（单位）第25页，课件共51页，创作于2023年2月间接测量量的不确定度合成举例例：已知金属环的外径

内径高度

求环的体积V和不确定度SV。解：求环体积

求偏导合成求SV

结果V=9.44±0.08cm3

第26页，课件共51页，创作于2023年2月

在实验中我们所得的测量结果都是可能含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的精确度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位有效数字。实验数据有效位数的确定第27页，课件共51页，创作于2023年2月1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度游标类器具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等）一般读至游标最小分度的整数倍，即不需估读。第28页，课件共51页，创作于2023年2月1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）一般应直接读取仪表的示值。第29页，课件共51页，创作于2023年2月1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度指针式仪表及其它器具，读数时估读到仪器最小分度的1/2～1/10，或使估读间隔不大于仪器基本误差限的1/5～1/3。第30页，课件共51页，创作于2023年2月直接读数注意事项注意指针指在整刻度线上时读数的有效位数。第31页，课件共51页，创作于2023年2月2.中间运算结果的有效位数用计算器或计算机进行计算时中间结果可不作修约或适当多取几位（不能任意减少）。加减运算的结果末位以参与运算的末位最高的数为准

(假设参与运算的数全是测量结果)。

如

11.4+2.56=14.0

75-10.356=65乘除运算结果的有效位数，可比参与运算的有效位数最少的数多取一位(假设参与运算的数全是测量结果)。

如

4000×9=3.6×104

2.000÷0.99=2.00第32页，课件共51页，创作于2023年2月3.测量结果表达式中的有效位数总不确定度S的有效位数，取1～2位首位大于2时，一般取1位首位为1、2时，一般取2位例：估算结果S=0.548mm时，取为S=0.6mm

S=1.37时，取为S=1.4第33页，课件共51页，创作于2023年2月3.测量结果表达式中的有效位数被测量值有效位数的确定

Y＝y±S中，被测量值y的末位要与不确定度S的末位对齐

（求出y后先多保留几位，求出S，由S决定y的末位）例：环的体积不确定度分析结果最终结果为：V=9.44±0.08cm3即：不确定度末位在小数点后第二位，测量结果的最后一位也取到小数点后第二位。第34页，课件共51页，创作于2023年2月

作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据表１数据U轴可选1mm对应于0.10V，I轴可选1mm对应于0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为130mm×130mm。作图步骤：实验数据列表如下.

表1：伏安法测电阻实验数据作图法处理实验数据第35页，课件共51页，创作于2023年2月2.标明坐标轴：

用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.连成图线：

用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线线正穿过实验点时可以在两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图点处断开。3.标实验点：实验点可用“”、“”、“”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。第36页，课件共51页，创作于2023年2月5.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点A、B的坐标就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线6.标出图名：

在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：至此一张图才算完成第37页，课件共51页，创作于2023年2月不当图例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图图1曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。第38页，课件共51页，创作于2023年2月nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图改正为：第39页，课件共51页，创作于2023年2月图2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm

代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。第40页，课件共51页，创作于2023年2月I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线改正为：第41页，课件共51页，创作于2023年2月定容气体压强～温度曲线1.20001.60000.80000.4000图3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。第42页，课件共51页，创作于2023年2月定容气体压强～温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正为：第43页，课件共51页，创作于2023年2月用逐差法处理数据一次逐差.二次逐差.三次逐差。用逐差法处理数据的两个条件

1)函数可以写成x的多项式形式,即

y=a0+a1xy=a0+a1x+a2x2,y=a0+a1x+a2x2+a3x3.2)自变量x是等间距变化的

逐差法处理数据

第44页，课件共51页，创作于2023年2月逐差法在物理实验中的应用

验证多项式.a）当y=a0+a1x测得xi，yi（i=1，2，……………n）一次逐差有yi－yi-1=a1x则函数是线性函数

b）当y=a0+a1x+a2x2测得xi，yi（i=1，2，……………n）二次逐差结果是恒量则：函数是y=a0+a1x+a2x2型函数

c）当y=a0+a1x+a2x2+a3x3测得xi，yi（i=1，2，……………n）

三次逐差结果是恒量则：函数是y=a0+a1x+a2x2+a3x3型函数发现系统误差或实验数据的某些变化规律求物理量的数值第45页，课件共51页，创作于2023年2月数据的直线拟合(最小二乘法)用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。最小二乘法的理论基础、最佳经验公式y=a+bx中a、b的求解

:

通过实验，等精度地测得一组互相独立的实验数据xi，yi（i=1，2…n），设此两物理量x、y满足线性关系，且假定实验误差主要出现在yi上，设拟合直线公式为y=f(x)=a+bx，当所测各yi值与拟合直线上各估计值f(xi)=a+bxi之间偏差的平方和最小，即

时，所得拟合公式即为最佳经验公式。据此有解得第46页，课件共51页，创作于2023年2月数据的直线拟合(最小二乘法)相关系数r

：

最小二乘法处理数据除给出a、b外，还应给出相关系数r