灰色理论模型

灰色理论模型第1页，课件共37页，创作于2023年2月2不确定系统研究方法模糊数学概率统计灰色系统认识不确定随机不确定小信息的不确定第2页，课件共37页，创作于2023年2月3三个问题1什么是灰色理论？2.什么是灰色模型？3如何建立和使用灰色模型？第3页，课件共37页，创作于2023年2月4什么是灰色理论？通过对灰数进行灰运算、灰生成，以建立起灰色模型，通过模型再对客观事物进行预测、控制、优化…等等，这一套方法体系，我们就称之为灰色理论。灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然内涵某种规律。关键在于我们如何选择适合的方式挖掘利用它，生成弱化其随机性，展现其规律性。第4页，课件共37页，创作于2023年2月5几个概念灰数灰运算灰生成第5页，课件共37页，创作于2023年2月6灰数

灰数是指信息不完全的数，例如：“那个小姑娘的身高大约有165公分左右，体重只有40公斤左右”．这里的165左右和40公斤左右都是灰数，可以分别记为和.再如：“他的体温大约在38度～39度之间”，关于体温是灰数，记为.第6页，课件共37页，创作于2023年2月7灰运算第7页，课件共37页，创作于2023年2月8灰运算第8页，课件共37页，创作于2023年2月9灰生成（灰色生成数列

）对灰数的处理主要是利用某种数据处理方法去寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成.数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累减生成和均值生成等.第9页，课件共37页，创作于2023年2月10一、累加生成（AGO）设原始数列为令

则称为数列的１-次累加生成，数列称为数列的１-次累加生成数列类似地有称之为的r-次累加生成.记，称之为r-次累加生成数列.的例如:x(0)=（1，3，2，5，8）

x(1)=（1，4，6，11，19）

x(2)=（1，5，11，22，41）第10页，课件共37页，创作于2023年2月11二、逆累加生成（IAGO)设原始数列为令

则称为数列的１-次累减生成。一般地，对于r-次累加生成数列则称为数列的r-次累减生成。累加生成与累减生成互为逆过程。例如:x(1)=（1，4，6，11，19）

x(0)=（3，2，5，8）

第11页，课件共37页，创作于2023年2月12三、均值生成（MEAN）设原始数列为：

对于常数：

称：为数列在生成系数（权）下的邻值生成数（或生成值）。特别地，当生成系数时，则称：为邻均值生成数，即等权邻值生成数.例如:x(0)=（1，4，6，11，19）

z(0)=（2.5，5，8.5，15）

a=0.5第12页，课件共37页，创作于2023年2月13灰色模型—GM(1,1)定义：设x(0)为n个元素的数列：x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)), x(0)

的累加生成数列为：x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)),

其中： 定义x(1)(k)的灰导数为:

令z(1)为数列x(1)的均值数列，即 于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为

亦即第13页，课件共37页，创作于2023年2月14其中x(0)(k)称为灰导数，a称为发展系统，z(1)(k)称为白化背景值，b称为灰作用量.

将k=2,3,…,n代入上式则有：

令：第14页，课件共37页，创作于2023年2月15参数向量μ的确定方法：

由最小二乘法则有：

具体地：其中：第15页，课件共37页，创作于2023年2月16GM(1,1)的白化型

得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白微分方程为:

GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度高，则表明所用数列建立的模型GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然.

该方程揭示具有指数规律。第16页，课件共37页，创作于2023年2月17小结

灰色建模的方法

①

累加生成原数据列x(0)得到x(1)

②

均值生成x(1)得到z(1)

③写出灰微分模型

④回带数据利用最小二乘法求得参数a,b的估计值

⑤代入a,b的估计值解出相应的白微分方程可得：

⑥还原x(0)(k)=x(1)(k+1)-x(1)(k)第17页，课件共37页，创作于2023年2月18灰色预测灰色预测的步骤

数据的检验与处理建立模型GM(1,1)检验预测值预测预报第18页，课件共37页，创作于2023年2月19数据的检验与处理为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理.设参考数据为:

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，

计算数列的级比 如果所有的级比λ(k)都落在可容覆盖内， 则数列x(0)可以作为模型GM(1,1)和进行数据灰色预测.

否则取适当的常数c做变换:

使得数列的级比：第19页，课件共37页，创作于2023年2月20建立模型GM(1,1)按前面的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值：

而且：第20页，课件共37页，创作于2023年2月21检验预测值残差检验：令残差为，计算： 如果，则可认为达到一般要求；如果则认为达到较高的要求.级比偏差值检验：首先由参考数据计算出级比，再用发展系数a求出相应的级比 偏差:

如果，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高的要求.第21页，课件共37页，创作于2023年2月22预测预报由模型GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，实际问题的需要，给出相应的预测预报.第22页，课件共37页，创作于2023年2月23例子（SARS疫情对某些经济指标影响问题）2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响.直接经济影响涉及到商品零售业、旅游业、综合服务等行业.很多方面难已进行定量地评估，现仅就SARS疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析.已知该市的从1997年1月到2003年10月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如下表1、表2和表3.试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响.第23页，课件共37页，创作于2023年2月24表1：商品的零售额（单位：亿元）年代1月

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12月199719981999200020012002200383.079.878.185.186.688.290.386.793.392.590.996.9101.785.187.891.693.494.597.499.5104.2102.3101.0123.592.2114.093.3101.0103.5105.2109.5109.2109.6111.2121.7131.3105.0125.7106.6116.0117.6118.0121.7118.7120.2127.8121.8121.9139.3129.5122.5124.5135.7130.8138.7133.7136.8138.9129.6133.7137.5135.3133.0133.4142.8141.6142.9147.3159.6162.1153.5155.9163.2159.7158.4145.2124144.1157.0162.6171.8180.7173.5176.5第24页，课件共37页，创作于2023年2月25表2：接待海外旅游人数（单位：万人）年代1月

2月

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12月19971998199920002001200220039.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.69.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.511.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.511.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.713.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.915.417.123.511.61.782.618.816.2

20.124.926.521.8第25页，课件共37页，创作于2023年2月26表3：综合服务业累计数额（单位：亿元）年代2月

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12月199719981999200020012002200396144194276383466554652747832972111169235400459565695805881101111391512383354255416417398669751087123816426337653160071191310381173129614971823184455767088561000114512921435166721636150464281897911421305147916441920241404584741923111412981492168418852218第26页，课件共37页，创作于2023年2月27一、模型的分析与假设

根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：

(1)利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997～2002年的平均值预测2003年平均值；

(2)通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS疫情实际造成的影响.给出下面两条假设：

(1)假设该市的统计数据都是可靠准确的；

(2)假设该市在SARS疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与

SARS疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响.第27页，课件共37页，创作于2023年2月28二、建立并求解灰色预测模型GM(1,1)

数据的检验与处理 由已知数据，对于1997～2002年某项指标记为矩阵

A6*12，计算每年的年平均值，记为

X(0)=[87.616798.5000108.4750118.4167132.8083145.4083]

并求得级比为：[0.88950.90800.91600.89160.9133]X=[0.75151.3307]

所以数据可以使用。第28页，课件共37页，创作于2023年2月29建立模型GM(1,1)

①一次累加得到：

X(1)=[87.6167186.1167294.5917413.0083545.8167691.2250]

②对x(1)均值生成（参数取0.4?）可得：

Z(1)=[127.0167229.5067341.9583466.1317603.9800]

③最小二乘求得参数：

[ab]=[-0.099385.5985]第29页，课件共37页，创作于2023年2月30由：求得：x(1)(7)=861.0677，x(1)(6)=698.1884回代：求得：x(0)(7)=861.0677-698.1884=162.8793即2003年月平均产值为：162.8793，所以2003年总产值为：X=162.8793*12=1954第30页，课件共37页，创作于2023年2月31由历史数据计算可得每月产值占全年产值比为：代入数据得到：u=(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.08860.0866,0.0920)所以2003年月产值为：Y=u*X=(155.2,157.8,146.4,153.6,160.1,159.9,165.2,163.8,170.5,173.2,169.3,179.9)（亿元）第31页，课件共37页，创作于2023年2月32将预测值与实际统计值进行比较如下表4所示.

表4：2003年商品的零售额（单位：亿元）月

份1月

2月

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12月预测值实际值155.2157.8146.4153.6160.1159.9165.2163.8170.5173.2169.3179.9163.2159.7158.4145.2124.0144.1157.0162.6171.8180.7173.5176.5第32页，课件共37页，创作于2023年2月33同理，接待海外旅游人数：表5：2003年接待海外旅游人数（单位：万人）月份1月

2月

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12月预测值实际值14.826.625.531.933.030.830.437.136.737.833.225.515.417.123.511.61.782.618.816.2

20.124.926.521.8第33页，课件共37页，创作于2023年2月34表6：2003年综合服务业累计数额（单位：亿元）月份2月

3月

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11月

12月预测值实际值244397