梁的变形计算课件

梁的变形计算梁的变形计算上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件设计时，除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。梁的位移分析与刚度问题本章将在上一章得到的曲率公式的基础上，建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定梁的求解问题。梁的位移分析与刚度问题梁的变形与梁的位移叠加法确定梁的挠度与转角简单的静不定梁结论与讨论梁的刚度问题梁的小挠度微分方程及其积分梁的位移分析与刚度问题在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线（deflectioncurve）。

梁的曲率与位移根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：

梁的曲率与位移q、EI、l均已知。汽车中的钣簧即为一例。连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度这种情形下也需要研究变形。弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。1．查表确定B处的转角3．

建立微分方程并积分为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法。3．

建立微分方程并积分梁的位移分析的工程意义解：1．

确定梁约束力连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。这与第8章中分析正应力的方法是相似的。其中C、D为积分常数。两种情形下自由端的挠度和转角分别为与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？确定约束力,判断是否需要分段以及分几段梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三个部分：

横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；

变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope）用表示；挠度与转角的相互关系

横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。

挠度与转角的相互关系在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：

在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有w＝w（x），称为挠度方程（deflectionequation）。梁的位移分析的工程意义位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。

梁的位移分析的工程意义工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的效果。梁的位移分析的工程意义力学中的曲率公式数学中的曲率公式小挠度微分方程小挠度情形下弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。￫0小挠度微分方程

小挠度微分方程

本书采用向下的w坐标系，有对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

小挠度微分方程

小挠度微分方程的积分与积分常数的确定积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;

连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。PABCPD支点位移条件：连续条件：光滑条件：C小挠度微分方程的积分与积分常数的确定解：5．

确定挠度与转角方程对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出:因此，求解这种静不定问题只需1个补充方程。确定约束力,判断是否需要分段以及分几段此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。1．查表确定B处的转角叠加法确定梁的挠度与转角wB=wB(q)+wB(FBy)=0求解其它问题（反力、应力、变形等）为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。在支座A、C两处挠度应为零，即其中C、D为积分常数。叠加法应用于多个载荷作用的情形例题解：6．

确定最大挠度与最大转角另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动。2．建立梁的弯矩方程1．查表确定B处的转角解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。小挠度微分方程的积分与积分常数的确定例题求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

已知：左端固定右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q

，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。解：1．建立Oxw坐标系建立Oxw坐标系如图所示。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。

2．建立梁的弯矩方程Oxw例题从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：

解：2．建立梁的弯矩方程xM(x)FQ(x)3．

建立微分方程并积分将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得

例题积分后，得到

3．

建立微分方程并积分例题解：4．

利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：

例题解：5．

确定挠度与转角方程解：6．

确定最大挠度与最大转角从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度和转角均最大值。于是，将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：

例题求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。例题解：1．

确定梁约束力2．

分段建立梁的弯矩方程AB段

BC段

于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为

例题解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。例题其中，的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径分段建立挠度微分方程1．查表确定B处的转角均布载荷集度为q，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变形的叠加法。此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。FAy=FBy=ql/2,在支座A、C两处挠度应为零，即解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数wB(FBy)=-Fbyl3/3EI由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为FAy=FBy=ql/2,在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线（deflectioncurve）。wB=wB(q)+wB(FBy)=0梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、叠加法应用于多个载荷作用的情形例题试：根据刚度要求确定该轴的直径d。梁的小挠度微分方程及其积分在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。缺点：计算较繁。解：1．建立Oxw坐标系3．

建立微分方程并积分解：5．

确定挠度与转角方程由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为确定约束力,判断是否需要分段以及分几段将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2确定约束力,判断是否需要分段以及分几段根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：小挠度微分方程的积分与积分常数的确定在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立wB=wB(q)+wB(FBy)=0已知：左端固定右端自由的悬臂梁承受均布载荷。2．根据刚度设计准则确定轴的直径q、EI、l均已知。2．

分段建立梁的弯矩方程解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2例题解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0例题解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

例题确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程叠加法确定梁的挠度与转角在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。叠加法应用于多个载荷作用的情形当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B叠加法应用于多个载荷作用的情形例题例题解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。例题例题解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。例题已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC和C解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

例题两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

例题解：3．将简单载荷作用的结果叠加

例题1．查表确定B处的转角解：5．

确定挠度与转角方程小挠度微分方程的积分与积分常数的确定其中，的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。机床主轴的挠度过大会影响加工精度；可以写出变形协调方程为已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。3．

建立微分方程并积分2．根据刚度设计准则确定轴的直径结构形式叠加（逐段刚化法)梁的位移分析与刚度问题将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:3．

建立微分方程并积分1．查表确定B处的转角总体变形是微段变形累加的结果;为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。因此，求解这种静不定问题只需1个补充方程。为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。缺点：计算较繁。机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。结构形式叠加（逐段刚化法)=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxfPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，求C点的转角与挠度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM例题P2BCa=++图1图2图3解：1结构变换，查表求简单

载荷变形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf例题P2BCa=++图1图2图3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf叠加求复杂载荷下的变形例题计算结果例题刚度计算的工程意义对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。

梁的刚度条件对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。B例题例题解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

B1．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为例题2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，

其中，的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

简单的静不定梁多余约束与静不定次数静不定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数多余约束——保持结构静定多余的约束求解静不定问题的基本方法根据以上分析，求解静不定问题．除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（compatibilityequation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutiveequations）。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。

可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。这与第8章中分析正应力的方法是相似的。3-3=04-3=1MA

ABFAyFAx

ABMAFAyFAxFB多余约束与静不定次数5－3＝26－3＝3FBxMBBl

AMAFAyFAxFByBl

AMAFAyFAxFBxFBy多余约束与静不定次数应用小变形概念可以推知某些未知量由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B处水平位移u=0。既然u=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAx＝FBx=0。因此，求解这种静不定问题只需1个补充方程。可以写出变形协调方程为FBxBl

AMAFAyFAxFBy应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB对于两端固定的梁，同样有FBx=0，但这时的多余约束力除FBy外，又增加了MB。于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：MBBl

AMAFAyFAxFBxFBy与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为

求:梁的约束力已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、

长度为lFBxBl

AMAFAyFAxFBy例题解：1、平衡方程:FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=02、变形协调方程：

wB=wB(q)+wB(FBy)=03、物性关系：wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)Bl

AMAFAyFAxlB

AMAFAyFAxFB例题解：4、综合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(