中值定理的证明技巧

/第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求１、理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,有界性定理,介值定理），并会应用这些性质。２、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.掌握这四个定理的简单应用（经济)。３、了解定积分中值定理。二、内容提要1、介值定理（根的存在性定理)（1)介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值ｍ之间的任何值．(2)零点定理设ｆ(x)在［a、b]连续，且f(a)ｆ（b）＜０，则至少存在一点，cSＫIPIF１〈０(a、b)，使得ｆ（c）=０２、罗尔定理若函数满足：(1）在上连续(2）在内可导(３)则一定存在使得３、拉格朗日中值定理若函数满足:（１)在上连续（2）在内可导则一定存在,使得４、柯西中值定理若函数满足：(1）在上连续（2)在内可导（3）则至少有一点使得5、泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数,则当在内时，可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中（介于与之间）．在需要用到泰勒公式时,必须要搞清楚三点:1．展开的基点;２.展开的阶数;3．余项的形式．其中余项的形式,一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式.而基点和阶数,要根据具体的问题来确定．6、积分中值定理若f（x)在[ａ、b］上连续,则至少存在一点ｃ∈［a、ｂ］，使得SKＩPIF１＜0ｆ(ｘ)dx=f（c）（b－ａ)三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题(证明存在SKIPＩF1<0使SKIPＩF1<0或方程f(ｘ)=0有根)方法：大多用介值定理ｆ（ｘ)满足：在[ａ，b］上连续；f(a）f（ｂ）<0．思路:1）直接法２）间接法或辅助函数法例1、设SKIＰIＦ1〈0在［a,b]上连续，ＳKIPIF1〈0，证明存在SKIＰIＦ1〈０,使得SKＩPＩF1<０例2、设SKIＰＩＦ1〈0在[ａ，b］上连续、单调递增，且SKＩＰＩＦ1＜0,证明存在SKIＰIF1〈0使得ＳＫＩPIF1〈0*例3、设SＫIＰIＦ1＜0在[ａ，b］上连续且SKIPＩF1＜0，证明存在SＫIPIF1〈0使得SKＩＰＩF1〈0。。例4、设SＫIPIF1<0在[ａ，b］上连续,证明存在SＫIPIF1<0使得SＫIPIF１＜0SKIPIF1＜0例5、设f(x）在[0,1］上连续，且f(ｘ）〈1。证明：SKIPIF1<0在(0，1）内有且仅有一个实根。例6、设实数SKIＰＩF1<0满足关系式SKIPＩF1<0,证明方程SKIPIF1<0，在ＳＫIPＩF1〈0内至少有一实根。例7、(0234，6分)设函数f（x）,g（x）在［ａ,b］上连续,且g（x)〉0,利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点SＫIＰIF１<0使得SＫIＰIF1<０题型二、验证满足某中值定理例8、验证函数ＳＫIPIＦ1〈0,在［0，２]上满足拉格朗日中值定理,并求满足定理的SＫIPIF1＜0题型三、证明存在ＳＫＩPIF1〈0，使SKIPIF1〈0（n＝１,2，…）方法:1、用费马定理2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）3、用泰勒公式思路：可考虑函数ＳKIＰＩF1<0例9、设SKIＰIF1＜０在[a,b］上可导且SＫIPIＦ１<0,证明至少存在一个ＳKIＰIＦ1<0使得SKIＰIF１<0例１0、设SＫIＰＩＦ1<0在［0，３］上连续，在（０，3）内可导，且SKIPIF１〈0，证明存在一个SKIPＩF1＜0使得ＳKIPIF1<0*例11、设ＳKIＰIF１〈0在［0，2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且SKIPIF1〈0，证明存在ＳKIPIF1<０使得SKIPＩＦ1<0题型四、证明存在ＳKIPIF1〈0,使SKIPIF1<0方法：1)用罗尔定理(原函数法,常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a，b分离）思路：1）SＫIPIF１<0换为ＳＫIPＩF１<０２)恒等变形,便于积分3)积分或解微分方程4)分离常数:SKＩＰIＦ1＜0ＳKIPIF1<0即为辅助函数（1)用罗尔定理1)原函数法：步骤:将ｘ换为x；恒等变形，便于积分；求原函数，取ｃ＝０；移项，得Ｆ(x）．例12、设ＳKIPＩＦ１〈0在［ａ，ｂ］上连续，在(a,ｂ）内可导,且ＳKIPIF1<０，求证存在ＳKIPIF１〈0使得SKＩPIF1<0例13、（0１34）设f（ｘ）在［０,1］上连续，(0,１）内可导,且SKIPIF１＜０证明:在(０,1）内至少存在一点x，使SKＩPＩＦ1＜0例１４、设f（x）在[ａ,ｂ］上连续,在(a，b)内可导，且ｆ（a）f（b)>0,ｆ（a)SKIPＩF１〈0g(x)在[a，b]上连续,试证对SKIPIF１〈0。*例１5、设f（ｘ）在[0，1]上连续，在（0,1）内一阶可导，且SKIPIF１〈０.试证:ＳKIPＩF1〈0使得SKIPIF１〈０．．2）常微分方程法：适用：SＫIＰＩF１＜0步骤:ＳKＩPIF１＜０解方程SKＩPIF1<０令SKIPＩF1＜0例１6、设SKＩPIF1〈0在[ａ,b]上连续，在(a，b)内可导，且SKIPIF1＜0,证明存在ＳKIPIF１＜０使得SＫIＰＩＦ1〈０*例1７、设ｆ（x）在［0,１］上连续，在(０，1)内可导,且f（0）=0,ｆ(1）＝1,证明：对任意实数SKIPIF1<０，使得SＫIPＩF１〈0(2）直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设ＳKIPIＦ1〈0在SＫIＰIF１<0上连续,在SKIPIF１<0内可导,求证存在ＳKＩPIF1〈0，使得ＳKIPＩF1<0例19、设SＫIPIF１<0在SＫIＰIF1〈0上连续，在SKIPIF1〈0内可导，求证存在SKIPIF1<０，使得ＳKIPIF１＜0例20、设SKIPIＦ1<0在ＳKIＰIF1<０上连续，在SＫＩＰIF1<0内可导SKIPＩＦ1<0，求证存在SKIＰIF１＜０,使得SＫIPＩF１<0例2１、设ＳKIPIＦ１〈0在SKIＰIＦ1〈0上连续，在SKIPＩＦ1<0内可导SKＩPIF1〈0，求证存在ＳKIPＩF１＜0，使得SKIPIF1<０题型5、含有SKIＰＩF1<0(或更高阶导数）的介值问题方法：１)原函数法（对SKIＰＩF1<0仍用微分中值定理:罗尔定理,拉格朗日，柯西中值定理)；2）泰勒公式例22、设f(x）在[０,1]上二阶可导,且f（0）=ｆ（1），试证至少存在一个ＳKＩPIF1＜0，使SＫIPＩF1<0例２3、（012,8分)设ＳKIPＩF1<０在SKIPＩＦ１<0上具有二阶连续导数，f(0）=0写出f(x）的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。证明在ＳKIPIF1〈0上至少存在一个ＳKIＰIF1〈0使得ＳKIPIF1〈０例24、设f（x）在［－1，１］上具有三阶连续导数，且f（－1)=0,f(1）＝1，f¢(0）=0，证明：在(—1,１)内存在一点ｘ，使得SKIＰIF1＜0。例25、（103)设函数f(x)在闭区间[0，3]上连续，在开区间(０，3)内二阶可导,且2f（0）＝SKIPIＦ１＜0=f（２)+f(3）。（=１＼＊ROMＡＮI)证明存在ｈÎ（0，２),使得f（h)=f(0);(＝２\*ROMANII）证明存在xÎ（0,3），使得f¢²(x）=0..题型６、双介值问题ＳKIPIF1〈0方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理２)用一次后再用一次中值定理例26、设ＳKＩＰIF1<0在［a，b］上连续,在(a，b)内可导，SKIPＩＦ1<0，求证存在SKIＰＩF1<0使得SKIPIF1〈0例27、（051，１2分)已知函数SＫIPIF１〈0在[0，１］上连续,在（0,1）内可导,且SKIPIF1<０证明：（1）存在SKＩPIF1〈0,使得SＫＩＰIF１〈0（2)存在两个不同的点SKIPIＦ1〈０使得SKIＰIＦ1<0题型７、综合题*例2９、(0１1,7分）设函数ＳＫIPIF1〈0在（-１,１）内具有二阶连续导数，且ＳKIPIF1<０,试证对于(-1,1)内的任意ＳKIＰＩF1〈0,存