分形几何概述阮火军课件

分形几何概述阮火军1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。——塞·约翰逊2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。——伯克3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。——塞·约翰逊4、权力会奴化一切。——塔西佗5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。——莎士比分形几何概述阮火军分形几何概述阮火军1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。——塞·约翰逊2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。——伯克3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。——塞·约翰逊4、权力会奴化一切。——塔西佗5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。——莎士比分形几何概述

浙江大学数学系阮火军内容分形几何的发展历史分形几何的研究对象和研究方法分形几何的应用随着时代的发展和科学技术的进步，传统的教学理念、教学方法和手段已不能完全满足新时代的新要求，应该与时俱进，不断创新。作为一名职业高级中学农学专业课教师，对长期执教以来的农学专业课教学进行了小结，希望能和广大职业高中专业课教师朋友共勉。1分层次教学分层次教学是适应当前生源现状的需要。我校招收的学生，由于种种原因，录取分数线跨度很大，如此参差不齐的生源，不采用分层次教学，势必会导致学生两极分化。分层次教学是切实贯彻因材施教，提高教学效率的内在需要。分层次教学应做到：①备课时要根据不同层次学生的实际制定分层教学目标和课堂设计；②在课堂教学中分层实施，使差生达到基本要求，对有一定难度的问题，采用“低起点，小台阶”的办法，充分利用各种反馈手段，不断快速进行信息反馈，及时矫正；③练习和作业的设置要分层次，满足不同学生的需要；④考试内容分层次：即每次考试，在试题的分量和难度上都加以区分，这样保证了各类学生都有所得，从而增加他们学习的兴趣。2巧妙设疑，调动学生思维的主动性和积极性职高生都具有强烈的好奇心和求知欲，根据教材内容巧妙地设疑，暗布屏障，巧设“圈套”，使他们在创设的情境中进一步激发求知欲。自然引导他们自行去钻研，使课堂活动重点由教师讲清教学内容变为引导学生搞清教学内容，师生有目的地教与学，教学互动，易于取得良好的教学效果，也有利于提高学生分析问题和解决问题的能力。3倡导超前预习，培养学生自主学习能力和独立钻研精神培养学生自主学习能力，让学生自学、主动地获取知识，是培养学生实践能力的首要环节。每节课后，告诉学生下节课要讲的章节及提出的问题、要求，并使学生面对提出来的问题产生弄懂的强烈愿望和浓厚兴趣，鼓励学生预习。对预习好的同学提出表扬，对预习不好的提出希望。这样便于学生养成课前预习、主动学习的好习惯，也有效处理了从感知教材到理解教材这个循序渐进的认识过程，培养了学生独立、自主学习能力，使学生养成善于思考、学会分析总结的学习习惯。4精讲精练，讲练结合精讲是在学生自学的基础上利用一节课中学生注意力最集中的黄金时间，求知欲强的心理条件，讲清教材的重点、难点、疑点，能收到事半功倍的效果。精讲不单纯是对量的要求，更重要的是对质的要求，精讲要求在内容上突出重点，抓住关键，要在方法上做到化繁为简，化难为易，化抽象为具体。5运用各种教学手段，提高教学效果传统的“黑板+粉笔”的教学模式已显得力不从心，教学手段要多样化、现代化、可视化。单纯的“说教式”的教学方式，很难提高教学质量，要充分运用直观教学、实物教学和演示教学等各种手段，发挥多媒体在现代化教学中的作用。色彩鲜艳的挂图，形象具体的实物标本，融图、文、声于一体的多媒体教学，以及生动形象的幻灯和投影等，可使抽象的教学内容直观化，复杂的内容简单化；从而引起学生的学习动机并在轻松愉快的气氛中迅速掌握所学的知识。6优化实验实践内容，强化技能培养6.1根据学科特点优化实验实践内容如植物保护重点讲述农作物病虫害的形态特征、发生规律及综合防治技术。病虫害形态特征是基础，发生规律是关键，综合防治是主题。故植保实验实践应体现本学科的特点。把病虫害的形态观察的学时压缩，在有限的实验学时内，紧扣综合防治这一主题，增设一些实验实践内容，如增设植物主要病虫害的系统调查，使学生从感性上认识植物主要病虫害发生动态、发生规律等。6.2根据生产科研现状优化实验实践内容根据生产实践和科研当中出现的问题，开设一些研究性实验实践，让学生了解实验实践在生产和科研中所发挥的作用。如：在玉米大小斑病的综合防治的实践中首先让学生自己设计实践方案，制定实施步骤，最后分析预测目标和存在的问题并探索解决的方法。通过优化实验实践内容，抓住了重点，同时锻炼了学生的实践技能，提高了学生分析问题、解决问题的能力，使学生掌握了一套较完整的农作物病虫害防治实践的工作思路。7注意课终技巧专业课教学实践证明，教师善于根据授课内容及学生实际设计巧妙、生动、活泼的结尾，对学生加深理解、巩固所学知识、激发学生课后积极思考、增强教学效果起着重要作用。总之，专业课教学涉及教育思想、教学内容、教学方法等多方面，只有在教学实践中勇于探索，才能不断开辟出有效的途径。一、社会工作专业硕士教学的现状及存在的问题2008年，国务院学位委员通过的《社会工作硕士专业学位设置方案》中指出，社会工作专业硕士课程教学方式采用课程讲授、案例研讨和专业实习等多种形式，重视实践教学。实务课程要配备现代化的多媒体教室、社会工作实验室等硬件设施，可采用案例分析的方式授课，加强社会工作实务技能的训练，兼顾研究能力的培养。但是学者认为目前社会工作教育存在的问题有以下几个方面：（1）学科专业属性不够明晰，培养目标缺乏指向性；（2）教学有效性不高，教学模式单一，难以适应社会需要；（3）师资力量薄弱，师资素质有待提高；（4）实习制度缺陷，实践教学不如人意；（5）对西方经验照搬照抄，对本土经验的关注严重不足。这与社会工作专业硕士教育的培养要求是不符的，也不能适应本专业的特殊社会需求，对培养适应社会工作发展需要的新型人才非常不利。因此，这就要求社会工作专业硕士教师不断探索出符合社会工作专业硕士教育特点的教学模式。二、具身认知与社会工作专业硕士教学的契合处1.认知的身体参与性。具身认知认为认知是身体的认知，认知对象由认知主体通过身体捕获的。人类绝大多数的认知信息，都是有由触觉、嗅觉、味觉、听觉等构成的感知系统捕获。此外，身体的物理特性决定认知的方式和步骤，身体所处的状态影响认知状态。情绪对认知主体的知觉、注意、记忆和对策等均有不同程度影响。积极的情绪促进认知，过度消极的情绪对认知有负面影响。由于受教学效率和教学秩序导向的长期影响，传统课堂对学生身体的抑制以及对学生身体活动的剥夺的现象处处可见。具身认知视角的社会工作专业硕士教育课堂应摒弃这种做法，身体若带上“枷锁”，思维又如何能够自由呢？2.体验的情境性。心理学家Wilson（2002）总结出了关于具身认知的六种代表性观点，第一点便是：认知是情境的。认知活动发生在一个真实世界环境的情境中，并且内在地涉及知觉和活动。认知主体通过身体体验具体的情境而获得认知。当人的认知脱离了具体的情境，成为一种离线认知时，其认知活动就会受到极大的限制。根据具身认知这一观点，当不具备相应环境时，社会工作专业硕士教师可以人造环境，即创设相应的学习情境。情境教学为个体学习的身心体验创造了条件。可以说，具身认知为情境教学模式提供了理论依据，为情境教学注入了活力。强调教学的情境性，改变传统的讲授式教学方式成为符合具身认知的必然教学方式。3.师生互动的身心融合。具身认知视角下的教学，教师有着独特的生活经验与知识体系，每个学生也有其特殊的个人生活史实、自我感悟，教师和学生本身也是环境的组成部分，而学生通过身体与环境以及作为环境一部分的教师（或其他学生）彼此对话、相互交融。在这个过程中教师和学生相互影响，逐步生成或涌现新的认知。因此，在具身认知视角下的课堂，教师与学生之间的互动或学生彼此之间的互动都会影响各自的认知发展，由此新的体验和新的认知不断生成。教学过程由单向的知识流动，转变为双方的交互过程，影响着学生和教师的身心体验，不仅能够达成学生的学习成长，也促进这教师的生成学习。三、具身认知在社会工作专业硕士教学应用的具体策略具身认知在社会工作专业硕士教学应用方面有以下三个方面的具体策略。1.构建身体自由的空间环境。基于具身认知的课程教学需一个身体自由的学习环境。构建具身认知的动力环境，首先教师需要突破对限制身体的观念。传统的课堂，教师授课的地方――“讲台”是与学生的听课区分离的，讲台是教师的空间，是权威的体现，这样的身体空间限制，必然导致师生之间的不平等，从而影响课堂效率。身体是认知的重要工具和手段，课堂中给予学生足够的身体自由，不仅不会影响学生的学习，反而会增加学习效率。社会工作专业教育应重视对社工实验室的建设和使用。完善社工实验室的设备，比如活动的桌椅，从硬件设备上满足学生课堂身体自由的需求。教师要给予学生适当的自由。在学生自主学习或者讨论时，可以自主决定自己的座位甚至是身体姿势，站或者坐。给予了身体上的自由，学生可以占据教室的各个空间，其自主性和平等性得到极大的肯定，能够促进学生的有效学习。2.创设体验丰富的学习情境。社会工作专业硕士教育，创设融身于境的情境主要有以下几种方式：（1）利用多媒体给予学生视觉听觉上的感官刺激。这是目前课堂中较常采用的一种模式。身在具身性课堂教学中，学生身体的各种感官都到应用，视觉、听觉、触觉、嗅觉甚至味觉，全感官参与，学生用身体去实践，去参与。例如，在《社区工作》课程中讲述居民委员会选举时，由于学生们未曾亲自经历过，所以对文字展开的想象并不圆满，对所描写的场景不甚了解。这时，如能恰如其分地利用多媒体进行演示及解说，播放相关教学录像，能够使学生对于选举程序及操作细节有直观立体的了解，切身感受到选举现场的氛围，从而收到意想不到的教学效果。（2）设置情境角色模拟活动。情景角色模拟是在假定的情境中，让学生按照事先设计好的主题，扮演情境中的角色，按照角色的需要去思考和活动。例如在《个案工作》教学过程中讲述个案会谈的技巧时，教师给出预设的情境，如“网瘾大学生和学校社会工作者的初次会谈，要求运用所学的实务技巧”。学生分组预演并展示，分别扮演案主和社会工作者的角色，教室和其他学生进行观察评价。在这种活动中，学生把自己的身体代入他人的身体中――“案主”和“社会工作者”，让他人的身体变成自己的身体，对他人的内心世界进行想象，从而进行声音、表情及动作等活动，这种全身心的移情，使学生用自己的身体创造出一种情境，可以更好地体会和理解案主或者社工的语言及心理。3.营造师生互动的学习气氛。（1）首先，在教学过程中，教师在课堂教学过程中必须控制好自己的态度。教学双方有效的互动交流，需要双方的热情与投入，而学生的积极性源自教师诚挚的态度。一位优秀教师和一位普通教师的根本区别就在于对学生的感染力以及面对学生的错误、问题与成绩的不同态度。教师要加强与学生之间的身体接触与互动，比如眼神的互动，轻拍学生背肩部给予鼓励，促使学生以更为积极的心态投入双方互动中。（2）其次，在社会工作硕士教育的课堂上应注重反思及分享过程。例如在前文所述《个案工作》情景模拟的例子，在进行情境模拟之后，通常会进行评价反思，这也是社会工作实务中必不可缺的一步――“评估”。在这个过程中教师或者情景模拟中的“社工”可以进行引导提问，可以遵从以下四个方面：Fact（事实）、feeling（感受）、finding（发现）、future（未来）。事实是指学生运用其敢感受器官所观察到的周围情境，如所见、所闻、触摸到的等等；感受则是指学习者对所处情境的一种真实体会和感受，即所感；发现则是学生在综合考虑事实和感受的基础上通过反思而获得一种认识，所思所想；未来则是指向未来的一种指导，既我们从中学到了什么可以用于我们将来的生活和学习。通过这样的模式引导学生进行反思分享，促进其理论和技能知识的整合，培养学生的专业技能和专业素质，引发多视角思考，生成新的知识。结语：课堂教学是教师依据授课目标利用教学资源开展教学的过程，影响着学生对知识的内化，教师在课堂教学中的策略会和直接影响课堂教学的效率，从而影响学生的全面发展。认知是在身体与环境的联系中获得的外部经验的基础上形成的。所以，不管采取何种教学策略，只有符合人类认知规律的才是有意义和有价值。分形几何概述

浙江大学数学系阮火军英国的海岸线有多长?测量方法：我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过，设这样测得的海岸线长度为L().然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。用一只小老鼠代替人测量。用苍蝇代替小老鼠测量。测量结论：随着步长越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。英国的海岸线有多长(续)?Richardson的经验数据L()与成正比，其中的值依赖于具体的海岸线。而且对同一海岸线，对不同的区段，常常得到不同的。在Richardson看来，没有什么特别意义。Mandelbrot的贡献把的意义挖掘出来，将1+=D解释为“分形维数”。

其它例子迭代（动力系统）的问题Julia集的定义Julia集的图象C=-1C=-0.5+0.5iC=-0.2+0.75iC=0.64iMandelbrot集Mandelbrot集微积分中的一个问题如何研究在闭区间上处处连续处处不可导的函数：如Weierstrass函数？分形几何的研究对象（一）

—自相似集1Cantor集2Sierpinski垫片3Koch曲线Cantor集CCantor集C中的点的表示Cantor集C的基本性质1.“长度”为零.2.没有孤立点.3.闭集.4.自相似.Sierpinsk垫片Sierpinsk垫片的生成过程

—第0步、第1步Sierpinsk垫片的生成过程

—第2步、第3步Sierpinski垫片的基本性质与Cantor集类似。面积等于0.Koch曲线Koch曲线的生成过程

—第0步、第1步Koch曲线的生成过程

—第2步、第3步Koch曲线与雪花曲线

—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线Koch曲线的一些基本性质Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫片类似的性质.长度等于无穷.自相似集合的定义相似压缩映射的定义：设f是从Rn到Rn的映射，如果存在常数1>c>0,使得对于Rn中的任意两点x,y,有|f(x)-f(y)|=c|x-y|,我们称f是一个Rn上的相似映射，相似比为c.关于自相似集合的定理及定义：设f1,f2,…,fm是Rn上的一组相似压缩映射，则存在Rn的一个非空子集E，使得E=∪fi(E).我们称集合E是一个自相似集合.分形几何的研究对象（二）

自仿射集（每个映射都是压缩的仿射映射）。迭代函数系统的不变集（每个映射都是压缩映射）。分形函数（如：Weierstrass函数）。随机分形（如：随机Koch曲线）。随机Koch曲线

——对海岸线的模拟分形集合的基本特征我们很难给出分形的定义，但我们认为一个分形集合E应该有如下的特征：E具有精细的结构，即有任意小比例的细节。E是如此的不规则以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述E通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的。分形集合的基本特征（续）一般地，E的“分形维数”（以某种方式定义）大于它的拓扑维数。在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常简单的方式定义，可能由迭代产生。分形几何的研究方法

——维数和测度我们仅讨论维数传统意义下的维数：点是0维的，线是1维的，平面是2维的，立方体是三维的，…用这个维数去刻画分形集合时的困难：Cantor集：含有无穷多个点，长度为0.Koch曲线：长度为无穷，面积为0.Sierpinski垫片：长度为无穷，面积为0.分形维数的一种定义（1）换种角度看维数.把线段放大两倍后，所得线段可以看成是2个原来个线段叠加而成。把正方形放大两倍后，所得正方形可以看成是4＝22个原来的正方形叠加而成。把立方体放大两倍后，所得立方体可以看成是8＝23个原来的立方体叠加而成。分形维数的一种定义（2）分形维数的一种直观定义(不很确切).如果我们把集合E放大倍，得到的新集合可以由d个集合叠加而成，则称集合E的分形维数是d.几个典型自相似集的分形维数Cantor集:log2/log3.Sierpinski垫片:log3/log2.Koch曲线:log4/log3.自相似集合的分形维数公式设f1,f2,…,fm是一组Rn上的相似压缩映射，fi的相似比为ci,E是对应的自相似集，如果fi(E)是两两不