高中数学394线面垂直的判定及线面角优秀课件

直线与平面垂直的

判定直线和平面的位置关系复习1直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行旗杆与地面的位置关系观察线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系思考1直线和平面垂直旗杆与地面中的直线的位置关系如何？将一本书翻开直立在桌面上，观察书脊〔想象成一条直线〕与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考2思考3一条直线与一平面垂直的特征是什么？特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．BAC直线和平面垂直如果直线l

与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l

与平面互相垂直.定义平面的垂线直线l

的垂面垂足平面内任意一条直线如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？思考4lα如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上〔BD，DC于桌面接触〕．〔1〕折痕AD与桌面垂直吗？〔2〕如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．探究当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直．〔1〕有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，你同意他的说法吗？

（2）如图，由折痕，翻折之后垂直关系不变，，．由此你能得到什么结论？思考5线面垂直的判定判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．作用：判定直线与平面垂直．直线与平面垂直直线与直线垂直思想：1.“练一练〞尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)过直线外一点可作条直线与该直线平行,可作条直线与该直线垂直;过平面外一点可作条直线与该平面平行,可作条直线与该平面垂直.(2)直线m,n是异面直线,且m∥α,n∥α,直线l⊥m,l⊥n,那么l与α的位置关系是.【解析】(1)过直线外一点与该直线平行的直线只有一条,垂直的直线有无数条,可能相交,也可能不相交.过平面外一点有无数条直线与平面平行,垂直只有一条.答案：1无数无数1(2)由于直线m,n是异面直线,且m∥α,n∥α,那么平面α内存在相交直线分别和m,n平行,且和直线l垂直,故l⊥α.答案：垂直【拓展延伸】线面垂直的其他性质(1)过一点有且只有一条直线和平面垂直.(2)过一点有且只有一个平面和直线垂直.2.以下说法中错误的个数是()①假设直线m∥平面α,直线l⊥m,那么l⊥α;②假设直线l和平面α内的无数条直线垂直,那么直线l与平面α必相交;③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直;④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直.

3.(20xx·怀化高一检测)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,那么四面体P-ABC中直角三角形的个数为()例1.如图，，求证根据直线与平面垂直的定义知又因为所以又是两条相交直线，所以证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，例2：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′证明：连接BD因为正方体ABCD-A'B'C'D'所以DD‘⊥平面ABCD又因为所以因为AC、BD为对角线所以AC⊥BD因为DD'∩BD=D所以AC⊥平面D'DB所以AC⊥BD'ABDCA′B′C′D′例3在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.PABCD练习.如下图,AB是圆O的直径,C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC交PC于F.求证：AF⊥平面PBC.直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，那么线面垂直〞小结通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系〔空间问题〕转化为直线间的垂直关系〔平面问题〕.思想方法直线与平面所成的角第2课时前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出线面角相关概念αP斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角2.平面的垂线与平面所成的角为直角3.一条直线与平面平行或在平面内，那么这条直线与平面所成的角的00角一条直线与平面所成的角的取值范围是例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.〔1〕求直线A1B和平面ABCD所成的角；〔2〕求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO【技法点拨】求线面角的四个步骤(1)作：根据直线与平面所成的角的定义作出线面角.(2)证：通过推理说明所作出的角即为所求角.(3)求：在直角三角形中求出该角.(4)结：作出结论.例2如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面，垂足为O，直线BC在平面内，∠ABC=60°，OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？DαCAB∠BAD>∠BACE解：作BOAD于O，BEAC于E，那么BD<BEsinBAD<sinBAC思考1o2.(20xx·浙江高考)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明：①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF.(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值.解.(1)①由AD∥BC,BC∥B1C1可得AD∥B1C1,又B1C1⊄平面AA1D1D,AD⊂平面AA1D1D,所以B1C1∥平面AA1D1D,又平面B1C1E∩平面AA1D1D=EF,所以B1C1∥EF,又A1D1∥B1C1,所以EF∥A1D1.②在Rt△FA1B1和Rt△A1B1B中,所以Rt△FA1B1∽Rt△A1B1B,所以∠A1FB1=∠BA1B1,因为∠A1FB1+∠A1B1F=90°,所以∠BA1B1+∠A1B1F=90°,所以A1B⊥B1F,由AD⊥AB可得B1C1⊥A1B1,又B1C1⊥BB1,所以B1C1⊥平面A1B1B,又A1B⊂平面A1B1B,,可得BA1⊥B1C1,又BA1⊥B1F,且B1F∩B1C1=B1,所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设A1B∩B1F=O,连接C1O,由(1)可知BC1与平面B1C1EF所成的角为∠BC1O,在Rt△A1B1B中,B12=BO·BA1,即22=BO·,解得BO=,所以sin∠BC1O=所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值为.【变式训练】如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4,求直线BC与平面PCD所成角的大小.【解析】过D作DE⊥BC，E为垂足，如图，那么BE=AD=1，DE=AB=，所以CE=BC-BE=4-1=3，所以在△ABD中，AD=1，AB=，∠BAD=90°，所以所以BC2=BD2+CD2，所以BD⊥DC，因为PD⊥平面ABCD，所以BD⊥PD，而PD∩CD=D，所以BD⊥平面PDC，所以CD是BC在平面PCD内的射影，所以∠BCD为直线BC与平面PCD所成的角，在Rt△BCD中，∠B