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文档简介

高三文科数学培优资料——外接球内切球问题

本文主要介绍了棱柱和棱锥的内切球和外接球问题。首先讨论了正方体的内切球和外接球，给出了它们的半径公式。然后介绍了直棱柱的外接球问题，给出了外接球半径的公式。接着讲解了正四面体的内切球和外接球问题，推导出它们的半径比为1:3。最后讨论了三棱锥的外接球问题，并给出了外接球半径的公式。球与正三棱锥四个面相切。实际上，球是正三棱锥的内切球。球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R。因此，可以将求球的半径转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决。例如，对于一个高为3，底面边长为8的正三棱锥内有一个球与其四个面相切的情况，可以使用等积法求出球的表面积为64π，体积为256π。注意，当遇到有一条侧棱垂直于底面的三棱锥时，可以补形成直三棱柱，转化为直三棱柱的外接球内切球问题。如果三棱锥的四个顶点同时是某个长方体的四个顶点，也可以进行转换。综合三个视图，可以求解某几何体的外接球表面积。例如，对于一个几何体的三视图如图所示的情况，可以求出该几何体的外接球表面积为141π。补充练习题：1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3，则此球的表面积为14π。2.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=A1B1=C1A1=2，则此球的表面积等于20π。3.一个正三棱柱恰好有一个内切球和一个外接球，则此内切球与外接球表面积之比为1:5。4.若一个底面边长为3，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为9π。5.在正三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=2，则此正三棱锥的外接球的表面积为12π。6.半径为R的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥，则四棱锥的体积为(4/3)R^3。7.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为(2/3)√3。8.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，

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