6.3 二项式定理 人教A版 新教材

第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理例1求的展开式.解：根据二项式定理，.例2（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数.解：（1）的展开式的第4项是.因此，展开式第4理的系数是280.（2）的展开式的通项是.根据题意，得，.因此，系数是.练习1.写出的展开式.【答案】【解析】【分析】直接根据二项式定理展开即可；【详解】解：2.求的展开式的第3项.【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式代入即可.【详解】的展开式的第项为当时，3.写出的展开式的第项.【答案】【解析】【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解.【详解】根据二项式展开式的通项公式可知，，即展开式的第项为4.的展开式的第6项的系数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.【详解】由题得，令r=5,所以，所以的展开式的第6项的系数是.故选C【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.在的展开式中，含的项的系数是________.【答案】-15.【解析】【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案.【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数,所以含的项为.所以展开式中，含的项的系数是-二项式系数的性质例3求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.分析：奇数项的二项式系数的和为，偶数项的二项式系数的和为.由于中a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和.证明：在展开式中，令，，则得.即.因此，，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.练习6.填空题（1）________；（2）________.【答案】①.1024②.【解析】【分析】根据组合数的性质计算即可.【详解】（1）由组合数的性质可得；（2）由组合数的性质知，，，所以.故答案为：1024；7.证明：（n是偶数）.【答案】证明见解析【解析】【分析】由分别令和可得.【详解】，令，得，令，得，两式相加得，.8.写出n从1到10的二项式系数表.【答案】见解析【解析】【分析】利用二项式定理求解即可【详解】解：n从1到10的二项式系数表：9.若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？【答案】【解析】【分析】根据子集的定义、元素与集合之间的关系和分步计数原理即可得出答案.【详解】对于集合中的任意一个元素，它与子集的关系都有且仅有两种选择：“属于”与“不属于”，由分布乘法计数原理，集合中的n个元素在子集中的情况共有种，故这个集合共有个子集.习题6.3复习巩固1.选择题10.在的展开式中，含的项的系数是（）A.74 B.121 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，11.二项式的展开式中项的系数为，则A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【详解】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．【考点定位】二项式定理．视频12.在的展开式中，的系数是__________.【答案】0【解析】【分析】由，利用二项式定理求出和的展开式中的系数，相加即可得出结果.【详解】，的展开式通项为，的展开式通项为，令，得，，因此，的系数为.故答案为：0.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题.13.用二项式定理展开：（1）；（2）.【答案】答案见解析；【解析】【分析】利用二项式定理，即可得出结论．【详解】解：（1）（2）．14.化简：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二项式定理可化简；（2）由二项式定理可化简.【小问1详解】；【小问2详解】.15.（1）求的展开式的前4项；（2）求的展开式的第8项；（3）求的展开式的中间一项；（4）求的展开式的中间两项.【答案】（1）、、、；（2）；（3）；（4）和【解析】【分析】利用展开式的第为，计算即可得出答案.【详解】（1）的展开式的第项为.所以，，，.（2）的展开式的第项为当时，（3）的展开式的第项为，展开式共有13项.其中间一项为第7项.当时，.（4）的展开式的第项为，展开式共有16项.其中间两项为第8、第9项.当时，当时，16.求下列各式的二项展开式中指定各项的系数.（1）的含的项；（2）的常数项.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求解通项公式，令可得含的项，进而可得其系数；（2）先求解通项公式，令的指数为0，可求常数项.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，可得，即含的项的系数为.（2）的通项公式为，令，得，即常数项为.综合运用17.证明：（1）的展开式中常数项是；（2）的展开式的中间一项是.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项公式并确定出常数项，然后将组合数改写为阶乘的形式并化简，由此完成证明；（2）先写出展开式的通项公式并确定出中间项，然后将组合数改写为阶乘的形式并化简，由此完成证明.【详解】（1）展开式的通项为，令，所以常数项为，又，所以的展开式中常数项是，故得证.；（2）展开式的通项为，中间项对应的，所以中间项为，又，所以的展开式中间一项是，故得证.18.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.【答案】120【解析】【分析】由题可得，解得即可求解.【详解】由题意可知，由二项式系数的性质可得，故这两项的二项式系数为.19.用二项式定理证明：（1）能被整除；（2）能被1000整除.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过二项式展开可证明；（2）由通过二项式展开可证明.【详解】（1），上式中的每一项都可以被整除，故能被整除；（2），上式中的每一项都可以被整除，故能被1000整除.拓广探索20.求证：.【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用二项式定理直接证明.【详解】左边==1=右边.即证.21.如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：（1）在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般，如今，数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化.请你试一试，从推广到（m，）.（2）请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到n