求下列幂级数的收敛半径与收敛区域

14.11)£nxn;(2)£xnn221)£nxn;(2)£xnn22n；3)£(n!)2xn,(0!=1)；(4)£0rn2xn,n=0(2n)!n=0£(x—2)2n—1£3n+(-5)(2n—1)!；(6)n7)£仃1 1「1+—++—xn；(8)£xn22n1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(0<r<1);k2n丿2.应用逐项求导或逐项求积法求下列幕级数和函数（应同时指出它们的定义域）:x3 x5 x2n+1（1）x+++++；3 5 2n+1(x+1)；x+2x2+3x3+•.：.+nx”+.：：；•（2）（3）1-2x+2-3x2+：：：：+n（n+1）x”+：：：2丿3.证明：设f（x）=艺在1木R内收敛，若另n+1Rn+1也收敛，则n=0axnnn=0JRf(x)dx= n+10 n+1n=0(注意：这里不管£axn在x=R是否收敛).应用这个结果证明:nn=0J1 dx=ln2=£(—1)n—.01+x nn=14.证明：x4nxn(2)y=n=o(n!)2满足方程xy''+y‘-y=0（1）y=n=0（4n）!满足方程y（4）=y;证明：设f为幕级数（2）在（-R,R）上的和函数，若f为奇函数，则级数（2）仅出现奇次幕的项，若f为偶函数，则（2）仅出现偶次幕的项。求下列幂级数的收敛域：xn 1n2£ab 工（1+—）xn（1） an+bn，（a>0,b>0）;（2）n证明定理14.3并求下列幂级数的收敛半径：£[3+（-1）n]nx（1） n n； （2）a+bx+ax2+bx3+（0<a<b）.求下列幕级数的收敛半径及其和函数：xnn（n+1）'9•设a0，a],a2,..…为等差数列（a°丰0）.试求：(1)£n=1

a,a,a,2）£0 Xnn(n+1)(n+2)n=11)2)另1)2)另aXn幕级数0n 的收敛半径;数项级数n=0a2：的和数。14.2设函数f在区间(a,b)内的各阶导数一致有界，即存在正数M,对一切xe(a,b)，有/(n)/(n)(x)<M,n=1,2....证明f(x)上4(x-xo)n(f(0)(x)=f(x),0!=1)对(a,b)内的任点x与 x0 有n!利用已知函数的幕级数展开式，求下列函数在x=0处的幕级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间：ex2ex2;(2)1一x(4)Sin2xex(7)1一xex(7)1一xjx叫t0t x (6)1+2x-2x2'(8)(1+x) ;ln(x+ln(x+”1+x2)(1)(1-x)(1-x2)(2)xarctanx一1叭1+x2.9)3•求下列函数在x=1处的泰勒展开式：1)f(x)=3+2x-4x2+7x3;(2)f1)f(x)=3+2x-4x2+7x3;x4.求下列函数的马克劳林级数展开式xx-15.试将f(x)=1nx按x+1的幕展开成幕级数。14.3总练习题

1•证明：当丨xlv1/2时，1―3x+2x22．求下列函数的幂级数展开式：(2)f(x)=sin3x;(1)f(x)=(1+x)ln(1+x);f(x)=Jxcos1(2)f(x)=sin3x;(3) 0确定下列幂级数的收敛域，并求其和函数；(1)兰n2Xn-1；x2n+1(2) X2n；n=1(3)艺n(x-1)n-1;n=14.应用幂级数性质求下列级数的和2n+1

n=0⑷£(—1》-1n=1x2n+1(2n)2-1x⑴(n+n?n=1⑵另n=0(-1)nxn证明它在(0，1)上满足方程：5.设函数f(x)=£ xn证明它在(0，1)上满足方程：n2n=1f(x)+f(1