极化恒等式学生版

课题：极化恒等式在向量问题中的应用目标1：经过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；学目标2-1：经过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数目积的值；习目目标2-2：经过对例2标的自主学习掌握用极化恒等式求数目积的最值、范围；目标2-3：经过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数目积相关的综合问题。要点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数目积相关的向量问题难点依据详细的问题情境，灵巧运用极化恒等式目标完成门路学习自我评论目标1：阅读资料，认识极化恒等式的由来过程，掌握极化恒阅读以下资料：引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明：不如设ABa,ADb,则ACab，DBab，22222ACACaba2abb（1）22222DBDBaba2abb（2）222222（1）（2）两式相加得：ACDB2ab2ABAD结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思虑1：假如将上边（1）（2）两式相减，能获得什么结论呢？ab＝122abab————极化恒等式4关于上述恒等式，用向量运算明显简单证明。那么鉴于上边的引例，你感觉极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数目积能够表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1.4122即：abACDB（平行四边形模式）4思虑：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式怎样表示呢？由于AC2122AM，因此abAMDB（三角形模式）4例1.(2012年浙江文15)在ABC中，M是BC的中点，uuuruuur____.AM3,BC10，则ABAC解：由于M是BC的中点，由极化恒等式得：ABACAM21BC21100=-16=9-44【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，要点在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。目标检测例2（.自编）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PAPB的取值范围是________.解：取AB的中点D，连接CD,由于三角形ABC为正三角形，因此O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC2OD2，因此CD3，AB23（也可用正弦定理求AB）又由极化恒等式得：由于P在圆O上，因此当P在点C处时，|PD|max3当P在CO的延伸线与圆O的交点处时，|PD|min1因此PAPB[2,6]【小结】波及数目积的范围或最值时，能够利用极化恒等式将多变量转变成单变量，再用数形联合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测问题、迷惑、错解聚集能力提高例3.（2013浙江理7）在ABC中,P0是边AB上必定点，知足1uuuruuuruuuruuurP0BAB，且关于边AB上任一点P，恒有PBPCP0BPC0。则4( )A.ABC90oB.BAC90oBC目标检测问题、迷惑聚集知识、方法总结本课的主要学习内容是什么？极化恒等式：平行四边形模型：三角形模型：极化恒等式在办理与_________________相关问题时，显得较有优胜性。课后检测1.在ABC中，BAC60o若AB2，BC3，D在线段AC上运动，DBDA的最小值为已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上uuuruuuruuur随意一点,则PAPBPC的最小值为（）1B.11A.C.D.14323．在ABC中，AB3，AC4，BAC60o，若P是ABC所在平面内一点，且uuuruuurAP2，则PBPC的最大值为4．若点O和点F(2,0)分别是双曲线x22的中心和左焦点，点P为双曲线a2y1(a0)uuuruuur右支上随意一点则OPFP的取值范围是.5．在RtABC，ACBC2，已知点P是ABC内一点，则PC(PAPB)的最小值是.6.已知

A、B是单位圆上的两点，

O为圆心，且

AOB

120o

,MN

是圆O的一条直径，点C在圆内，且知足

OC

OA

(1

)OB(0

1)，则CM

CN

的取值范围是（）A．1,1B．1,1C．3D．1,02,047.正ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动