勒让德函数资料

在特殊函数中的应用1作出0-4阶勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y0=legendre(0,x);y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);plot(x,y0(1,:),'g*',x,y1(1,:),'b+',x,y2(1,:),'ro',x,y3(1,:),'k:',x,y4(1,:),'r:')>>legend('P_0','P_1','P_2','P_3','P_4');title('Legendre')>>（仿真结果）2作出二阶连带勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y=legendre(2,x);plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro')>>legend('P_2^0','P_2^1','P_2^2')3作出三阶连带勒让德函数图形>>x=0:0.01:1;y=legendre(3,x);plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro',x,y(4,:),'k:')>>legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3')4作出整数阶贝塞尔函数的图形>>cleary=besselj(0:5,(0:0.2:10)');plot((0:0.2:10)',y)ylabel('j_v(x)')由式（7.14）和（7.15）可得出前几阶Legendre多项式具体形式 图7.1显示在区间〔－1，1〕上的图形，一般有图7.1Legendre函数第二类Legendre函数值得一提的式，Legendre方程（7.11）应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre函数，记为。其形式为等一般的形式是由于的对数形式，第二类Legendre函数在边界是无界的（并非全部）。因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对将不在作讨论。Legnedre多项式的零点的零点都是一阶的，全部位于区域〔－1，1〕内。且与的零点相互穿插，在的两个相邻零点之间必有一个的零点；反之亦然。2.3Legnedre多项式的性质Legendre多项式的性质如下：递推公式①(7.16)(7.17)(7.18)(7.19)②(7.20)对称性③(7.21)特殊点的值④(7.22)⑤(7.23)⑥(7.24)积分表达形式⑦(7.25)Laplace第一积分⑧(7.26)取，由式（7.26）得取，由式（7.26）得⑨(7.27)Laplace第二积分⑩(7.28)积分公式（7.29）（7.30）（7.31）利用Rodrigues公式（7.15）可证明积分公式，下面证明方程（7.31）。利用式（7.15），有将积分作次分部积分，然后设，并利用积分公式得下面由母函数入手，证明Legendre多项式得递推公式，将母函数式（7.12）写下（7.12）对式（7.12）两边取导数，得用乘上两边，得将上式左边中母函数再作展开，得等式（7.32）比较（7.32）式两边项得系数，得递推关系。这是式（7.20）的结果。同理，对式（7.12）两边的求导，得将上式两边乘以，并将左边母函数展开，得（7.33）比较项的系数，得这就是式（7.19）。其它递推公式可依此导出，这里不再证明。利用母函数，已证明Legendre式多项式（7.14）满足递推公式（7.16）～（7.20），则式（7.14）是Legendre方程（7.11）的解。下面证明定理。定理设函数是在〔－1，1〕区间上有一、二阶连续倒数的连续函数，若满足递推公式（7.16）和式（7.17）～（7.20），则是Legendre方程的解。

将递推公式（7.16）两边对求导，得（7.34）再将式（7.16）乘以，得（7.35）将式（7.34）乘以，并与式（7.35）相加，得（7.36）由式（7.17），将换成，有（7.37）将式（7.37）两边对求导，得（7.38）或写成（7.39）将式（7.39）代入式（7.36），得（7.40）再由式（7.16）将式（7.40）中的项替代，最后，得到Legendre方程2.4Fourier－Legendre级数第6章§1.3讨论了区间〔－1，1〕上，Legendre方程的本征值为（7.41）相应的本征函数是Legendre多项式（7.42）由Legendre方程（7.11）知，。在边界，因而Legendre方程的解满足自然边界条件，因而有本征函数正交性（7.43）第6章§1.4还讨论了函数在区间〔－1，1〕上用Legendre函数展成的广义Fourier级数，称为Fourier－Lengendre级数。模计算如下：将母函数式（7.12）两边平方，得（7.47）Fourier－Lengendre级数展开定理若在区间〔－1，1〕上连续，或有限第一类间断点，那么，Fourier－Lengendre级数（7.44）其中（7.45）（7.46）在〔－1，1〕上的连续点收敛于；在的间断点，则收敛于平均值；在，收敛于；在，级数收敛于。

将方程（7.47）两边对从－1到1积分，并利用正交关系式（7.43）可知式（7.47）右边的第二项积分等于零。于是，有（7.48）式（7.48）左边的积分可完成为（7.49）将式（7.49）与式（7.48）的右边相比较，得【例7.1】在〔－1，1〕区间上，试求展成Fourier－Lengendre级数。解设根据积分公式（7.30）可知，当时，所有积分等于零，即利用式（7.29），计算得（被积函数是奇函数）于是有由上述计算可得出以下结论：在的Fourier－Lengendre级数中，若是奇数，只含奇数阶Lengendre多项式；若为偶数，只含偶数阶Lengendre多项式。且Lengendre多项式的阶数最高阶为。下面列出部分的Fourier－Lengendre多项式的阶数：2.5具有轴对称性的物理问题举例由本章§1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。把对称轴取作求坐标的轴，Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为（7.50）Laplace方程描写的轴对称问题的形式解：(7.51)对于球内问题，有对于球外问题，应为零。【例7.2】半径为的均匀带电圆环，总电量为，如图7.2，求圆环周围空间的电势。图7.2带电的圆环解先由Coulomb（库仑）定律求在轴上的电势，（7.52）将式（7.52）作Laurant（罗朗）展开，得（7.53）势（7.53）可看成是形式解（7.51）在的边界条件。比较两式，且有，得【例7.3】半径为的半球导体，球面温度保持在，底面温度保持为，如图7.3，求半导体球内的稳定温度分布。图7.3半圆形导体解稳定时，导体内的温度分布满足Laplace方程。温度分部具有轴对称性。对于球内问题，由式（7.51）有（7.54）边界条件是（7.55）（7.56）由式（7.55），有显然，只有当为奇数时才有。因而，式（7.54）成为（7.57）由式（7.56），有利用Fourier－Legendre级数展开定理，有（7.58）最后一步积分是利用习题7.2第3①题的结果求得的。将式（7.58）换写成表达式，并代入式（7.57），有（7.59）§3*连带LEGENDRE多项式3.1连带LEGENDRE多项式上节讨论了对称的定解问题，当时，式（7.5）转变成Legendre方程（7.10）。当物理问题是非轴对称时，将式（7.5）写下：（7.59）类似地，作代换，令，式（7.5）变成连带Legendre方程（7.60）式（7.60）的本征值是，只有当取等整数时，式（7.60）才有本征函数解。设（7.61）于是,有将上述结果代入式（7.60）得（7.62）另则，由Legendre方程（7.11）对作次求导，得（7.63）比较式（7.63）与（7.62）有（7.64）由式（7.61）得到满足方程（7.60）的连带Legendre多项式（7.65）在以上推导中，阶导数表示为特别是3.2连带LEGENDRE多项式的性质积分表达式①（7.67）递推公式②（7.68）③(7.69)④