初中数学章起始课教学案例研究-以二次函数章起始课教学为例

初中数学章起始课教学案例研究以“二次函数”章起始课教学为例

王茜，林磊(华东师范大学数学科学学院，上海200241)随着课程标准改革的深入，数学教材在内容方面更加重视内容间的整体性和互相联系，其内容设计由“部分—部分—整体”转变为“整体—部分—整体”，即以每一章的章引言、章头图等开始，接着展开每一节、每一课时的教学，最后以回顾与思考、复习题结束。每章的章头图、章引言、章头语等引言部分内容大部分都以趣味性的生活化图片、数学文化等形式呈现，具有统领全章的作用，对整个章节知识框架的形成、知识间联系的建立、基本思想方法的掌握都有重要作用。与之相应的，一种新型课程“章起始课”出现了，越来越多的学者开始章起始课的实践与相关理论研究。陈胜彦[1]早在1998年通过对新旧教材的对比，指出了章头图的作用：明确学习目的；激发学习兴趣；学习的过程中融入思想教育；培养学生观察力、抽象思维能力。余建国[2]认为章起始课起着先行组织者的作用，章起始课教学中，可将章引言、章头图部分作为丰富的素材，为整章知识构建了宏伟的蓝图；章起始课可以激发学生兴趣、调动学生学习的积极性。章建跃博士[3]也对章起始课的先行组织者作用进行了阐述。在实际教学过程中，一方面，教师对于章起始课的重视程度不够，认为章起始课可有可无，为了节约时间，对于章起始课的内容要不一笔带过，要不直接忽略进入新课的学习，忽略了章起始课中数学基本思想方法以及情感价值的渗透[4]，更忽略了章节之间的联系，最终导致学生学习目的不明确，对这一章的知识框架、数学思想方法不清楚，失去了章起始课应有的价值。另一方面，部分教师缺乏系统性的、科学性的理论指导，不知道章起始课应该怎么上？本研究以北师大版初中数学教材《二次函数》这一章的教学设计为例，提出了初中数学章起始课的教学策略，有利于进一步完善相应的教学理论体系，为北师大版初中数学的章起始课的开展提供一定的借鉴。1《二次函数》章起始课教学设计案例1.1不同版本教材章引言笔者针对《二次函数》这一章节章引言、章头图以及章内容的设置，对北师大版[5]、人教版[6]、华师大版[7]的教材进行了比较。在《二次函数》这一章中以上三个版本的教材都设置了相应引言部分，北师大版和人教版均以现实生活中人们熟悉的曲线，如喷泉的水流、投篮入篮的路线等为背景，引出本章所学内容；华师大版以生活中的花圃面积最大问题引出本章的学习内容。二次函数对于学生来说理解起来较为抽象，因此，在二次函数的章起始课教学中，可以从学生熟悉的生活情境出发，帮助学生理解变量之间的关系。笔者将章头图的篮球入篮线路放在平面直角坐标系中,将实际问题转化成数学问题，培养学生建模思想，让学生在知识的自然生长过程中接受新的知识。在章节内容的设置上，三个版本的教材内容相同，只是在学习顺序上有稍许差异。在学习二次函数之前，学生已经学习了函数中常见的一次函数和反比例函数，因而可类比一次函数的学习方法帮助学生来认识二次函数，帮助学生形成研究函数的一般思路。1.2教材分析《二次函数》是北师大版九年级下册第二章的内容。在知识关联上，二次函数是在学生已经学习了一次函数、反比例函数的基础上展开的，而二次函数的学习，又为以后指数函数、对数函数等的学习奠定了基础，具有承上启下的作用；在能力关联上，学生在一次函数、反比例函数的学习过程中经历了研究函数的一般思路，也在相应的教学活动中，体会了将实际问题转化为利用函数来解决的函数模型思想，为本节课研究二次函数奠定基础。本章通过类比一次函数，学习二次函数的概念、图象和性质以及应用等，使学生进一步体会函数的模型思想、数形结合思想，发展几何直观。同时也将有助于学生认识数学与生活的联系，加强学生数学建模能力，发展学生数学应用意识。1.3教学目标(1)探索变量间的二次函数关系，体会其中的模型思想。(2)对本章的知识有初步的认识，并能形成一定的知识脉络，提升学生自主建构知识的能力。(3)培养学生抽象概括能力，体会数形结合思想，发展几何直观。1.4教学重难点教学重点：理解二次函数的定义及一般形式；能用二次函数表示简单变量之间的关系。教学难点：通过章首课的学习建立学习二次函数的一般思路，初步构建知识结构体系。1.5教学过程1.5.1情境导入提出问题问题1把篮球在空中经过的路线图放在平面直角坐标系中，回答下面两个问题。①当时间确定，篮球的高度是否确定？篮球的高度是时间的函数吗？②若这条路线对应的函数表达式为，y=-0.4x2+1.05x+1.8，它是一次函数吗？是反比例函数吗？你认为这是一个什么函数呢？问题2一个长方形的周长为100cm,若长是xcm,其面积y与x有何关系？问题3有两个数，其中一个数是x，且这两个数的和为20，请写出两数之积y与x的表达式。设计意图：把章头图中篮球在空中经过的路线图放在平面直角坐标系中，引出一种新的函数，体现了学习二次函数的必要性。通过多个问题情境得出数量关系，为之后二次函数的概念做铺垫。将实际问题转化为数学问题解决的过程中，体会建模思想。1.5.2合作引导新知探究(1)仔细观察以上函数关系式，它们有何共同点？①y=-0.4x2+1.05x+1.8；②y=(50+x)(500-5x)=-5x2+250x+25000；④s=x(10-x)=-x2+10x。生1：都有两个变量，一个自变量，一个因变量。生2：未知数的最高次是2次。师：这两个变量之间满足二次函数的关系，类比一次函数的概念，你认为什么是二次函数？二次函数的定义：一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数。ax2叫做二次项，a为二次项系数；bc叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项。(2)上述问题中的四个函数的自变量的取值范围是什么？①x≥0；②0≤x≤100；③x>0；④x为全体实数。设计意图：根据多个函数表达式，类比一次函数的概念，归纳得出二次函数的概念，并对自变量的取值范围有所了解。1.5.3.适时检测巩固新知(1)你能举出二次函数的例子吗？生1：正方形的面积S与边长a的关系：S=a2。生2：圆的面积S与半径r的关系：S=πr2。生3：若y=2x2+3x。则y是x的二次函数。(2)下列函数中,哪些是二次函数?③s=t(1-t)；④y=(x-1)2-x2；生：①③是二次函数。(3)请写出一个二次函数的表达式，并指出各个项的系数。设计意图：通过辨识练习及举例，加强二次函数概念的理解。1.5.4.类比迁移统摄全章师：对于一次函数、反比例函数，我们是从哪些方面展开研究的？生：函数的定义、图象、性质、应用。师：类比学习一次函数与反比例函数的方法，我们可以来研究二次函数，目前已经知道了二次函数的定义以及表达式，接下来我们可以研究二次函数的图象。师：篮球投入篮筐的路线图我们知道了二次函数y=-0.4x2+1.05x+1.8对应的图像，它的图象是直线还是曲线？是不是所有二次函数的图像都与这个图像类似呢？生：曲线，可以再画几个二次函数的图象来验证。师：你能通过篮球在空中经过的路线图y=-0.4x2+1.05x+1.8看出篮球何时达到最大高度？最大高度有多少？篮球高度随着时间的变化如何变化？生：在图象的最高点处篮球达到最高，最高约2.5米，y随着x的增加先增加后减少。师：若已知篮球高度为2米，你能知道此时所对应的时间吗？生：可以，令y=2,则-0.4x2+1.05x+1.8=2,解这个方程得到x的值就是所对应的时间。师：也就是说二次函数的问题，可以通过转化为一元二次方程来解决。设计意图：由一系列的问题串，通过类比学习，得到二次函数的研究思路，引出本章需要学习的主要内容，为之后学生自主构建本章知识框架奠定基础。利用章头图中的问题情境，进一步体会二次函数与一元二次方程之间的联系。1.5.5.小结提升统摄全章设计意图:学生回顾本节课内容，建立本章知识网络(见图1)，体会知识间的联系，形成系统的知识体系。图11.6教学反思就本节课的教学实践，结合学生学习情况，对本节课的教学作出以下几点反思：(1)二次函数对于学生来说较为抽象，因此对二次函数的教学，应充分挖掘生活中的问题情境以及章头图的内容，从丰富的现实背景和学生感兴趣的问题出发，帮助学生理解二次函数的概念，体会函数思想，渗透建模意识。通过学生之间的合作与交流的探究性活动，培养学生合作交流能力。(2)之前学习过的一次函数、反比例函数对于学生来说是非常宝贵的学习经验，因此本节课多次利用“类比学习”，帮助学生理解二次函数，借助研究一次函数、反比例函数的基本思路进一步研究二次函数，形成对二次函数整体的认识，最后，在教师引导下构建本章知识框架，形成系统的知识体系，建立学习自信。2初中数学章起始课教学设计的主线通过初中数学章起始课教学设计，提出了初中数学章起始课教学设计的主线：“为什么学”：教师应该明确章起始课教学的价值，让学生全面认识到本章内容在初中数学乃至整个数学学习阶段中的地位、意义和价值，树立有意义的学习心向，促进学生有兴趣地高效学习。“学什么”：围绕每章开头的“章引言”、“章头图”、“章单元目标”，充分研读课程标准与教材，把握本章核心概念与重难点，理清知识间的逻辑关系，引导学生构建本章核心知识的基本框架，建构良好的认知结构。“怎么学”：在合理安排本章学习内容的同时，渗透数学思想方法，掌握学习数学的一般思路，比如在研究函数的过程中，可采用“类比”的学习方法，帮助学生形成研究函数的基本思路，形成数学的思维方式，发展学生能力，提高数学素养。3章起始课的教学策略及建议3.1取材生活化数学来源于生活又高于生活，并应用于生活。在课堂教学中发现，部分学生认为所学知识太难，希望教师能够用更加浅显易懂的方式帮助学生理解。这就要求教学素材生活化，从生活现象、生活经验中发现数学问题，形成数学知识，最终应用于生活，解决实际问题。一方面将抽象的数学知识与学生熟悉的生活场景、生活经验相结合，降低了学生的认知难度；另一方面将枯燥的数学知识与学生熟悉的生活场景、生活经验相结合，有利于激发学生的学习兴趣。二次函数对于学生来说较为抽象，因此，这就要求我们尽量加强数学知识与实际生活的联系，贴近生活，用函数知识帮助学生解决生活中得数学问题，用生活经验帮助学生理解函数知识。3.2元素多元化信息技术在教学中的运用改变了传统的教学方式，合理运用信息技术既能帮助学生理解数学知识，也能提高课堂效率。比如利用课件制作知识脉络图，加深学生对上位概念和下位概念的理解；在二次函数的教学中，可以利用几何画板，结合数形结合的思想，直观感受图形的变化等。将现代信息技术与数学知识相结合，有效的改进了教与学的方式，使学生更乐于参与到课堂学习中去。在不同章起始课的教学过程中，也可以融入数学史、数学文化的知识，帮助学生了解相关的背景知识，包括数学的产生及其在人类历史发展中的作用。比如无理数的产生以及第一次数学危机的爆发；方程的产生和发展以及古代著名方程问题；平面直角坐标系的创立及其创立者笛卡尔的“浪漫心脏线”爱情传说；圆周率π的计算方式以及祖冲之父子的卓越成就；勾股定理的发现与证明等。把这些数学史知识放在导入环节，可以帮助学生建立有意义学习的心向，激发学生学习兴趣，也有益于培养学生追本溯源的科学态度。3.3活动丰富化杜威认为，教学中不能“以教师为中心”，学生不是学习的机器，教学中应该充分发挥学生的主观能动性，让他们在学中做，在做中学。学生的学习应当是积极的、主动的去探索的过程，认真听讲、独立思考、实践操作、小组合作等都是课堂中重要的学习活动。在课堂教学中，教师应该给学生充分的时间去经历观察、猜测、验证、总结归纳的学习过程[8]。数学活动的基本特点是“动”和“活”，因而，在教学过程中，教师应该根据学生的认知基础和数学内容的特点，选择能够激发学生兴趣的方式，组织相应的学习活动，充分发挥学生的主体性，调动学生独立思考、积极探索，重视学生的活动经验与情感体验，使学生在愉快的教学活动中认识知识本质、掌握数学思想方法。3.4方法灵活化初中数学教材很多知识点的学习，其思维方式相似，学习这些知识点时经常要用到类比的数学思想方法。在教学中可以巧妙的用类比的方法处理章首课，在本节课的教学设计中，对于二次函数的学习，类比之前学过的一次函数和反比例函数的学习方法，把这些零散的知识串联起来，让学生从不同中找到相同，从变化中找到不变，以揭示数学的本质。学生能从中感受到从已知到未知、从特殊到一般的知识之间的相互转化和迁移的过程，这才是数学教育的本真。3.5知识链条化布鲁纳说：“获得的知识，如果没有完整的知识结构联系在一起，那是一种多半会遗忘的知识”。知识链条化有利于学生掌握知识间的关联，形成完备的知识体系。为帮助学生实现知识碎片化向链条化的转变，教师可以在章末引导学生形成本章内容的思维