2021-2022学年湖南省益阳市沅江大同联校高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年湖南省益阳市沅江大同联校高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象（），可得到函数的图象（

）

A．向下平行移动1个单位

B．向右平行移动1个单位C．向左平行移动1个单位

D．向上平行移动1个单位

参考答案：C略2.合集，则集合M=

（

）

A．{0，1，3}

B．{1，3}

C．{0，3}

D．{2}参考答案：A3.已知数列的通项公式为,则最小项的值为

A.

B.11

C.12

D.参考答案：D略4.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（

）A.[0,4) B.[－1,4) C.[－3,5] D.[0,7)参考答案：A【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.【详解】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为此时，满足；当时：的解为或，则或，则无解，综上所述：，故选：【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.5.在可行域内任取一点，则点P满足的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）参考答案：D【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象．【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选D．8.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.参考答案：B略9.下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是(

)A．y=x2 B．y=﹣x3 C．y=﹣lg|x| D．y=2x参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性加以判定．【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数，又A，y=x2在（0，+∞）内单调递增，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．10.若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x+4y﹣5≤ax+by+c≤3x+4y+5，则（）A．a+b﹣c的最小值为2 B．a﹣b+c的最小值为﹣4C．a+b﹣c的最大值为4 D．a﹣b+c的最大值为6参考答案：A【分析】由题意知，﹣5≤（a﹣3）x+（b﹣4）y+c≤5，故当a=3，b=4时，﹣5≤c≤5，可得结论．【解答】解：由题意知，﹣5≤（a﹣3）x+（b﹣4）y+c≤5，故当a=3，b=4时，﹣5≤c≤5，则a+b﹣c的最小值为2，最大值为12，a﹣b+c的最小值为﹣6，最大值为4，故选A．【点评】本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，以及不等式的性质的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣6，﹣2]【考点】函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）=﹣++=﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故答案为：[﹣6，﹣2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．12.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子构成，其空间结构为正四面体，碳原子位于该正四面体的中心，四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上，若将碳原子和氢原子均视为一个点（体积忽略不计），设碳原子与每个氢原子的距离都是a，则该正四面体的体积为_________．参考答案：13.已知n次多项式.如果在一种计算中,计算(k=2,3,4,……,n)的值需要次乘法,计算的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法).那么计算的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:,,利用该算法,计算的值共需要6次运算,计算的值共需要__________次运算.参考答案：；2n.14.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则

；此双曲线的离心率为

．参考答案：2,.15.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________.参考答案：略16.已知，且是第三象限的角，则的值为

．参考答案：由题意得，根据三角函数的平方关系，所以，故答案为：

17.某种饮料每箱装听，其中有听合格，听不合格，现质检人员从中随机抽取听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是

．参考答案：考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）当a为何值时，x轴为曲线的切线；（2）设函数，讨论在区间（0，1）上零点的个数．参考答案：(1)(2)见解析【分析】（1）求得的导数，设切点为，可得，解方程可得所求值；（2）求的解析式和导数，讨论当时，当时，当时，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可得到所求零点个数．【详解】（1）的导数为，设切点为，可得，即，解得；（2），当时，，在（0，1）递增，可得，，有一个零点；当时，，在（0，1）递减，，在（0，1）无零点；当时，在（0，）递增，在（，1）递减，可得在（0，1）的最大值为，①若＜0，即，在（0，1）无零点；②若=0，即，在（0，1）有一个零点；③若＞0，即，当时，在（0，1）有两个零点；当时，在（0，1）有一个零点；综上可得，a＜时，在（0，1）无零点；当a=或a≥时，在（0，1）有一个零点；当＜a＜时，在（0，1）有两个零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值极值以及函数的零点问题，考查导数的几何意义的应用，考查分类讨论思想方法和运算能力，综合性较强．19.（2017?赣州一模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1．（1）求证：平面A1BC⊥平面ABC1；（2）若∠A1AC=60°，CA=2，求三棱锥A1﹣B1BC的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC⊥BC，从而BC⊥侧面ACC1A，进而BC⊥AC1，再由A1B⊥AC1，得到AC1⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面ABC1．（2）三棱锥A1﹣B1BC的体积=，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，∴AC⊥BC，∵侧面ACC1A1∩底面ABC=AC，∴BC⊥侧面ACC1A，∵AC1?侧面ACC1A1，∴BC⊥AC1，∵A1B⊥AC1，BC∩A1B=B，∴AC1⊥平面A1BC，∵AC1?ABC1，∴平面A1BC⊥平面ABC1．解：（2）∵BC∥B1C1，AC1⊥平面A1BC，∴B1到平面A1BC的距离d=AC1，∵底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，∠A1AC=60°，AC1⊥平面A1BC，∴四边形ACC1A1是边长为2的菱形，∴d===，A1C=2，∴===2，∴三棱锥A1﹣B1BC的体积====．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查柱、锥、台体的体积，考查推理论证能力，考查空间想象能力与计算能力，考查等价转化思想及数形结合思想，是中档题．20.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ=α﹣，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|?|OQ|的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用平方关系消去参数可得曲线C1的直角坐标方程，利用互化公式可得曲线C1极坐标方程．曲线C2的参数方程为（β为参数），消去参数可得：曲线C2的普通方程，利用互化公式可得C2极坐标方程．（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q极坐标为，即．代入|OP|?|OQ|，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣4x=0，利用互化公式可得：ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1极坐标方程为ρ=4cosθ．曲线C2的参数方程为（β为参数），消去参数可得：曲线C2的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，展开利用互化公式可得C2极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q极坐标为，即．则==．∵，∴，当，即时，|OP|?|OQ|取最大值4．21.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=﹣2ccosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，且△ABC的面积为2，求边c的长．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，化简可得cosC=﹣，结合C的范围求C的值；（Ⅱ）由a+b=6得a2+b2+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a2+b2的值，利用余弦定理求出c的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，bcosA+acosB=﹣2ccosC，正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，sin（A+B）=﹣2sinCcosC，由A，B，C是三角形内角可知，sin（A+B）=sinC≠0，∴cosC=，由0＜C＜π得，C=；（Ⅱ）∵a+b=6，∴a2+b2+2ab=36，∵△ABC的面积为2，∴，即，化简得，ab=8，则a2+b2=20，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2absinC=20﹣2×=28，所以c=．22.在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知,设H是E上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点且不平行与y轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围.参考答案：解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q， 因此即① 另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。 MQ为线段OP的垂直平分线， 又因此M在轴上，此时，记M的坐标为 为分析的变化范围，设为上任意点 由（即）得， 故的轨迹方程为② 综合①和②得，点M轨迹E的方程为（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）： ； 当时