2021-2022学年四川省雅安市始阳中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年四川省雅安市始阳中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若（表示虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略2.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D3.已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（

）

A．f(6)>f(7)

B．f(6)>f(9)

C．f(7)>f(9)

D．f(7)>f(10)参考答案：答案：D4.若a=log20.9,b=,c=(,则()(A)a<b<c

(B)a<c<b

(C)c<a<b

(D)b<c<a参考答案：C略5.在复平面内，复数对应的点位于（

）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限参考答案：C略6.在中，内角，，所对的边分别为，，，若， ，，则的长为（

）A． B．1 C． D．2参考答案：C7.若，则过点可作圆的两条切线的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为(

) A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．解答： 解：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．故选：D．点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．9.已知，则A．

B．2

C

D．.4参考答案：D10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，若a3＞0，则＞0，则a1＞0．∴S2017=＞0．a2016=与0的大小关系不确定．若a4＞0，则＞0，则a1与q同号，则a2017=，S2016=与0的大小关系不确定．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，，则△ABC的面积为__________．参考答案：【分析】结合已知条件，由余弦定理求解边，再利用面积公式，即得解.【详解】利用余弦定理：故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.12.已知不等式组则z=的最大值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，结合的几何意义求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，的几何意义表示平面区域内的点与点A（﹣1，1）的直线的斜率，结合图象直线过AB时，斜率最大，此时z==3，故答案为：3．13.已知集合A＝与B＝，若,则的范围是_______参考答案：14.设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°,则为 ．参考答案：15.如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s则有∴s=故答案为：16.能说明“已知，若对任意的恒成立，则在[0,2]上，为假命题的一个函数g(x)_____?（填出一个函数即可）参考答案：x【分析】可以根据这个不等式入手，令，当时，而，显然是假命题，当然这样的函数有好多，比如，等等.【详解】因为，所以令，当时，而，所以是假命题，当然，也可以.【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的有成立，那么当时，恒成立.17.已知点（x，y）满足约束条件则的最小值是

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn，n=1，2，3，…，求：（1）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；

（2）a2+a4+a6+…+a2n的值.

参考答案：解析：（1）∵a1=1，an+1=Sn，∴a2=S1=a1=；a3=S2=(1+)=；a4=S3=(a1+a2+a3)=)=.（2）由an+1=Sn，及n≥2时，得an=Sn－1，∴an+1－an=(Sn－Sn－1)=an－1，即an+1=an，故数列{an}是除去a1=1后是等比数列，公比q=；∴an=.数列{a2n}是等比数列，且首项a2=，公比为，

∴a2+a4+a6+…+a2n==.19.如图5，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F中PB的中点，点E在边BC上移动。（1）证明：PE⊥AF；

（2）当CE=时，求二面角P—DE—A的大小.参考答案：20.本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为.（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；

（2）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值。

参考答案：(1)证明在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD＝5，

∴OA＝4，OD＝3，翻折后变成三棱锥A－BCD，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝25＋25－2×5×5×＝32，在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD，又AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD.(2)由(1)知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,4)，B(0，－3,0)，C(4,0,0)，D(0,3,0)，M，＝，＝(4，－3,0)，＝(4,0，－4)，设平面MCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由，得，令y＝4，有n＝(3,4,9)，设AC与平面MCD所成的角为θ，sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，∴AC与平面MCD所成角的正弦值为.21.已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线.(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设函数==(),==,有题设可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(2)若,则=,∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,(3)若,则==<0,∴当≥-2时,≤不可能恒成立,综上所述,的取值范围为[1,].略22.如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；②设∠BOC=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式．（Ⅱ）求梯形部件ABCD面积y的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE垂直于x轴于点E，①根据题意，利用CD=2x，分别得到梯形的上底，下底和高，再利用梯形的面积公式，列出关于x的函数关系，即可得到答案；②根据题意，利用∠BOC=θ（rad），分别得到梯形的上底，下底和高，再利用梯形的面积公式，列出关于x的函数关系，即可得到答案；（Ⅱ）方法1：利用①的表达式，将的最大值，转化成t=﹣x4﹣2x3+2x+1的最大值，利用导数求出函数的最值，从而确定出y的最大值；方法2：利用①的表达式，直接对y=（x+1）进行求导，利用导数即可求得函数的最值；方法3：利用②的表达式，对y=（1+cosθ）sinθ进行求导，利用导数即可求得函数的最值．【解答】解：如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE垂直于x轴于点E，（I）①∵CD=2x，∴OE=x（0＜x＜1），，∴=，②∵，∴OE=cosθ，CE=sinθ，∴，（II）（方法1）由①可知，y=（x+1），∴，令t=﹣x4﹣2x3+2x+1，∴t'=﹣4x3﹣6x2+2=﹣2（2x3+3x2﹣1）=﹣2（x+1）2（2x﹣1），令t'=0，解得，x=﹣1（舍），∴当时，t'＞0，则函数t在（0，）上单调递增，当时，t'＜0，则函数在（，1）上单调递减，∴当时，t有最大值，∴ymax=，答：梯形部份ABCD面积y的最大值为平方米．（方法2）由①可知，y=（x+1），∴，令y'=0，∴2x2+x﹣1=0，（2x﹣1）（x+1）=0，∴，x=﹣1（舍），∵当时，y'＞0，则函数y在（0，）上单调递增，当时，y'＜0，则函数y在（，1）上单调递减，∴当时，，答：梯形部份ABCD面积的最大值为平方米．（方法3）由②可知，∴y'=[（sinθ+sinθcosθ）]'=（sinθ）'+（sinθ?cosθ）'=cosθ+cos2θ﹣sin2θ=2cos2θ+cosθ﹣1，令y'=0，∴2cos2θ+cosθ﹣1=0，解得，即，c